7. У рівносторонній трикутник вписано ромб, який має з ним спільний кут. а) Знайдіть периметр ромба, якщо периметр трикутника дорівнює 24 см; б) знайдіть довжини відрізків, на які вершини ромба ділять сторони трикутника.

У четырёхугольника в который можно вписать окружность, суммы противолежащих сторон равны. Так как дан параллелограмм у которого противолежащие стороны параллельны и их суммы равны , то он - ромб.
Площадь окружности равна: S=πR² ⇒ R=√S/π=√16π/π=4. 
Диаметр D=2R=8.
Высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности.
Пусть сторона ромба равна х, тогда его площадь можно выразить двумя
S=x²·sin135° и S=xh, где h - высота ромба.
х²·sin135=xh,
x²√2/2-8х=0,
х²√2-16х=0,
х(х√2-16)=0
х₁=0. значение не подходит,
х√2-16=0,
х₂=8√2, подходящее значение.
Периметр ромба: Р=4х=32√2 - это ответ.

Пусть точка касания будет В, секущая АС, ближняя к А точка её пересечения  с окружностью К.
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и 
секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
По этой теореме АВ²=АС:АК
144=18*АК
АК=144:18=8⇒
СК=18 - 8=10
Соединим центр окружности с С и К. 
∆ СОК - равнобедренный (боковые стороны - радиусы). 
Расстояние от точки до прямой - перпендикуляр. 
ОН⊥СК⇒ ОН - высота и медиана равнобедренного ∆ СОК. 
СН=КН=8:2=4
По т. Пифагора ОК=√(ОН²+КН²)=5 см