Пусть а,b- катеты, c - гипотенуза, h - высота, проведенная к гипотенузе. дано а=10, h=6 найти b
второй катет будем искать через площадь треугольника. Площадь треугольника можно найти по формуле через высоту S=1/2 * c * h С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты S=1/2 * a * b
значит 1/2 * c * h = 1/2 * a * b с * h = a * b √(a² + b²) * h = a * b возводим в квадрат обе части (a² + b²) * h² = a² * b² a² * h² = b² ( a² - h²) b = √((a² * h²) / (a² - h²) )= a * h / √(a² - h²) = 10*6/√64 = 7,5
В правильном тетраэдре все ребра равны, а грани - правильные треугольники.
Центры граней - точки пересечения медиан (высот, биссектрис).
Привяжем систему прямоугольных координат к вершине А и найдем координаты нужных нам для решения точек учитывая, что высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*а, высота правильного тетраэдра равна H=√(2/3)*а, медианы в точке пересечения делятся в отношении 2/3, считая от вершины, <BAC=60° => <BAH=30°,
<YpAH = 60°. Тогда
А(0;0;0).
Q(a/2;(√3/6)а;0) - так как Хq = Xp = a/2, Yq = (2/3)*h*Cos60.
М(a/4;√3a/12;(√(2/3))*а/2) - так как Xm = Xq/2, Ym = Yq/2, Zm =H/2 - из подобия треугольников).
P(a/2;(√3/3)*а;(√(2/3))*а/2) - так как Xp=Xq, Yp=(2/3)*h, Zp=Zm.
N(2a/3 ;(2√3/9)a;√(2/3))*а/3)- так как Xn=Xq+(2/3)*(1/3)*h*Cos30, Yn=Yq+(2/3)*(1/3)*h*Cos60, Zn=(1/3)*H.
дано а=10, h=6
найти b
второй катет будем искать через площадь треугольника.
Площадь треугольника можно найти по формуле через высоту S=1/2 * c * h
С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты S=1/2 * a * b
значит 1/2 * c * h = 1/2 * a * b
с * h = a * b
√(a² + b²) * h = a * b возводим в квадрат обе части
(a² + b²) * h² = a² * b²
a² * h² = b² ( a² - h²)
b = √((a² * h²) / (a² - h²) )= a * h / √(a² - h²) = 10*6/√64 = 7,5
Cosα = 2/9, α ≈ 77,1°
Объяснение:
В правильном тетраэдре все ребра равны, а грани - правильные треугольники.
Центры граней - точки пересечения медиан (высот, биссектрис).
Привяжем систему прямоугольных координат к вершине А и найдем координаты нужных нам для решения точек учитывая, что высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*а, высота правильного тетраэдра равна H=√(2/3)*а, медианы в точке пересечения делятся в отношении 2/3, считая от вершины, <BAC=60° => <BAH=30°,
<YpAH = 60°. Тогда
А(0;0;0).
Q(a/2;(√3/6)а;0) - так как Хq = Xp = a/2, Yq = (2/3)*h*Cos60.
М(a/4;√3a/12;(√(2/3))*а/2) - так как Xm = Xq/2, Ym = Yq/2, Zm =H/2 - из подобия треугольников).
P(a/2;(√3/3)*а;(√(2/3))*а/2) - так как Xp=Xq, Yp=(2/3)*h, Zp=Zm.
N(2a/3 ;(2√3/9)a;√(2/3))*а/3)- так как Xn=Xq+(2/3)*(1/3)*h*Cos30, Yn=Yq+(2/3)*(1/3)*h*Cos60, Zn=(1/3)*H.
Примем а=1. Тогда
Вектор PQ{0;-√3/6; -(√(2/3)/2}. |PQ| = √(0+3/36+1/6) = 1/4.
Вектор MN{5/12;5√3/36; -(√(2/3)/6}.
|MN| = √(25/144+75/1296+1/54) = 324/1296 = 1/4.
Cosα = |(Xpq*Xmn+Ypq*Ymn+Zpq*Zmn)/(|PQ|*|MN|) или
Cosα = |(0-5/72+1/18)/((1/4)*1/4)| = |(-1/72)/(1/16)| = 2/9.
α ≈ 77,1°