Апофема правильной треугольной пирамиды равна 9/√π, двугранный угол при ребре основания 60°. Вычислите площадь сферы вписанной в пирамиду.
Вспомним, что правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник. Поскольку пирамида правильная, в нее можно вписать шар.
Его центр лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, боковые стороны которого равны апофеме. ( См. рисунок)
Так как двугранный угол этой пирамиды равен 60°, то и основание треугольника MSH равно апофеме пирамиды. Т.е. треугольник этот - равносторонний. Радиус сферы, площадь поверхности которой предстоит найти, равен радиусу вписанной в этот равносторонний треугольник окружности и равен одной трети высоты этого треугольника, которая является и высотой пирамиды. Эту высоту найдем из треугольника SOM. Она равна SM·sin (60°) SO=(9/√π)·(√3):2 Радиус вписанной сферы в эту пирамиду r=(3√3):2√π S=4πR² S=4π{(3√3):2√π}²=4π·27:4π=27 см²
Диагональ перпендикулярна сторонам ТР и МК, а значит образует с ними прямые углы (90 градусов). Рассмотрим треугольник MKP (у меня такой чертёж получился). Угол 1 (часть М) равен 90 градусов (почему объяснил выше) Угол К равен 43 градуса по условию. Находим угол 2 (часть Р). В треугольнике сумма всех углов равна 180 градусам. Тогда 180-90-43=47. Угол 3 (часть P) равен 90, угол 2 равен 47, тогда угол P=90+47=137.
Также находим угол M. Рассмотрим треугольник MTP. T=37 (тоже по условию), угол 3 равен 90, то угол 4=180-90-37=53. Угол М=90+53=143. 143>137, то угол M больший и он равен 143. ответ:143
Апофема правильной треугольной пирамиды равна 9/√π, двугранный угол при ребре основания 60°. Вычислите площадь сферы вписанной в пирамиду.
Вспомним, что правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник.
Поскольку пирамида правильная, в нее можно вписать шар.
Его центр лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, боковые стороны которого равны апофеме. ( См. рисунок)
Так как двугранный угол этой пирамиды равен 60°, то и основание треугольника MSH равно апофеме пирамиды. Т.е. треугольник этот - равносторонний.
Радиус сферы, площадь поверхности которой предстоит найти, равен радиусу вписанной в этот равносторонний треугольник окружности и равен одной трети высоты этого треугольника, которая является и высотой пирамиды.
Эту высоту найдем из треугольника SOM.
Она равна SM·sin (60°)
SO=(9/√π)·(√3):2
Радиус вписанной сферы в эту пирамиду
r=(3√3):2√π
S=4πR²
S=4π{(3√3):2√π}²=4π·27:4π=27 см²
Диагональ перпендикулярна сторонам ТР и МК, а значит образует с ними прямые углы (90 градусов). Рассмотрим треугольник MKP (у меня такой чертёж получился). Угол 1 (часть М) равен 90 градусов (почему объяснил выше) Угол К равен 43 градуса по условию. Находим угол 2 (часть Р). В треугольнике сумма всех углов равна 180 градусам. Тогда 180-90-43=47. Угол 3 (часть P) равен 90, угол 2 равен 47, тогда угол P=90+47=137.
Также находим угол M. Рассмотрим треугольник MTP. T=37 (тоже по условию), угол 3 равен 90, то угол 4=180-90-37=53. Угол М=90+53=143. 143>137, то угол M больший и он равен 143. ответ:143