9. Основание пирамиды представляет собой квадрат со стороной 6 см, а каждая боковая грань - правильным треугольником. Найдите площадь боковой поверхности и площадь поверхности пирамиды.

      
1)  
  А .         Дано:  тр.СHB∈ плоскости а;  АН ⊥ а; AB=AC=25 cм; AH=15 cм
    /·  \                     СН=НВ - проекции АС и АВ на пл. а
  /  ·H \         Найти:  СВ
/\                  РЕШЕНИЕ:
C          B               В тр.АСН:  <CHA=90*;  CH=√(25²-15²) = √400=20 (см)
                              В тр. СНВ:   СН=ВН; <CHB=60*   --->   тр. СНВ - равносторонний и СВ=СН=ВН=20 (см)                        ОТВЕТ 20см
2)                        Дано:  плоск.(трАКВ)⊥ плоск.(квадрата АВСD)
                                                         AB=DC=4 см;  AD=BC=3см; АК=3см
  K                         AB            Найти   КС             
  | \                           |           |       РЕШЕНИЕ:
  |   \                         |           |          В тр.КАС:   <KAC=90*
  |     \                    DC          Катеты:  АК=12см; АС=√(4²+3²)=5 (см)
AC                                             Гипотенуза КС=√(12²+5²)=√169=13(см)
                                                     ОТВЕТ 13 см

На основании свойства касательных из одной точки к окружности обозначим катеты 3+r и 4+r.
По Пифагору (3+r)² + (4+r)² = 7².
9+6r+r²+16+8r+r² = 49.
2r² + 14r - 24 = 0 сократим на 2:
r² + 7r - 12 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно r: 
Ищем дискриминант:
D=7^2-4*1*(-12)=49-4*(-12)=49-(-4*12)=49-(-48)=49+48=97;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
r_1=(√97-7)/(2*1)=√97/2-7/2=√97/2-3,5 ≈ 1,42443;
r_2=(-√97-7)/(2*1)=-√97/2-7/2=-√97/2-3,5 ≈ -8,42443 отрицательное значение не принимаем.
Катеты равны 3+1,42443 = 4,42443 и 4+1,42443 = 5,42443.
Теперь находим искомую площадь треугольника:
S = (1/2)*4,42443*5,42443 = 12 см².