1). Построим описанную окружность с центром в т. М Угол ∠АМС - центральный, опирающийся на ту же дугу АС, что и угол ∠АВС. Следовательно: ∠АМС = 2*∠АВС = 2*15 = 30°
В ΔМНС: CH = MC*sin30° = MC/2
Так как АВ = 2*МС, то: СН:АВ = МС/2 : 2MC = 1/4 CH:AB = 1:4
2). В ΔАВС: cos∠ABC = BC/AB = BC/2MC => => BC = 2MC*cos15°
3. АВ = AD по условию,
∠ВАС = ∠DAC по условию,
АС - общая сторона для треугольников ВАС и DAC, ⇒
ΔВАС = ΔDAC по двум сторонам и углу между ними.
6.
а) ∠МАВ = ∠NBA по условию,
∠МВА = ∠NAB по условию,
АВ - общая сторона для треугольников МАВ и NBA, ⇒
ΔМАВ = ΔNBA по стороне и двум прилежащим к ней углам.
б) АМ = BN из равенства ΔМАВ = ΔNBA (см. п. а))
∠АМН = ∠ВNН из равенства ΔМАВ = ΔNBA,
∠МАН = ∠МАВ - ∠НАВ
∠NBH = ∠NBA - ∠HBA, а так как ∠МАВ = ∠NBA по условию и ∠НВА = ∠НAB по условию, то и
∠MAH = ∠NBH, ⇒
ΔMAH = ΔNBH по стороне и двум прилежащим к ней углам.
9. ∠САВ = ∠EFD по условию,
∠АВС = ∠EDF по условию,
АВ = AD + DB
FD = FB + DB, а так как AD = BF по условию, то и
АВ = FD, ⇒
ΔСАВ = ΔEFD по стороне и двум прилежащим к ней углам.
12. DE = CE по условию,
∠ADE = ∠BCE как смежные с равными углами,
∠AED = ∠BEC как вертикальные, ⇒
ΔAED = ΔBEC по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Угол ∠АМС - центральный, опирающийся на ту же дугу АС,
что и угол ∠АВС.
Следовательно: ∠АМС = 2*∠АВС = 2*15 = 30°
В ΔМНС: CH = MC*sin30° = MC/2
Так как АВ = 2*МС, то: СН:АВ = МС/2 : 2MC = 1/4
CH:AB = 1:4
2). В ΔАВС: cos∠ABC = BC/AB = BC/2MC =>
=> BC = 2MC*cos15°
В ΔМНС: МН = МС*cos30° = MC*√3/2
Тогда: