A) ABCD - параллелограмм, АК и DN - перпендикуляры к плоскости АВС. Докажите, что плоскости КАВ и NDC параллельны. б) Из точки, не лежащей в плоскости, проведено множество равных наклонных кэтой плоскости. Какую стереометрическую фигуру образуют все наклонные и плоскость к которой они проведены?

Пусть в треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана AD. Медиана делит периметр треугольника на две части, одна из которых - AB+BD, а другая - AC+CD. Пусть AC=a, AB=BC=2b, BD=CD=b Тогда возможны 2 варианта: 2b+b=15, a+b=6 или 2b+b=6, a+b=15. Решив первую систему уравнений, получим b=5 и a=1, то есть длина основания 1, а длина боковой стороны 5*2=10. Решив вторую систему, получим b=2, a=13, то есть длина основания равна 13, а длина боковой стороны 4. Но этот вариант невозможен, так как в любом треугольнике длина одной стороны, меньше суммы длин двух других, то есть треугольника со сторонами 13, 4, 4 не существует. Значит, длина равна 10.

Уравнение прямой, равноудаленной от всех точек можно описать, взяв за начальную точку середину отрезка АВ и направив эту прямую под перпендикуляром к отрезку АВ:

Середина АВ  M = (4-1/2; -5+2/2) = (3/2;-3/2)

Найдем вектор АВ = {-1-4;2+5} = {-5;7}
Он направлен под углом tg(a) = -7/5 = k
Воспользуемся формулой перпендикуляра к коэф. наклона k(перп) = - 1/k

Тогда k(перп) = 5/7

И уравнение прямой: y = kx + b

Найдем b:
Так как прямая проходит через точку M (3/2 ; - 3/2) и k = 5/7, подставим в уравнение:

- 3/2 = 5/7*3/2 + b
b = - 3/2 - 3/2*5/7 = -3/2*(5/7+1) = -3/2*12/7=-18/7

Тогда общее уравнение прямой: y = 5/7x - 18/7