А)При симметрии относительно точки К точка А (–7; 1) отображается на точку А1 (12; 9). Укажите координаты точки К.
1)(3,5; –5)
2)(–3,5; 5)
3)(–3,5; –5)
4)(3,5; 5)

б)При симметрии относительно точки А (–2; 1) точка P отображается на точку P1 (–3; 3). Определите координаты точки P.
ответ: P:

в)На какую прямую отображается прямая 7х – 3у = –2 при симметрии относительно оси абсцисс?
ответ:

г)При симметрии относительно прямой p точка А (–1; 5) отображается на точку А1 (3; 1). Укажите уравнение прямой p.
1)x + y – 2 = 0
2)x – y – 2 = 0
3)x + y + 2 = 0
4)x – y + 2 = 0

д)При параллельном переносе на вектор точка M (3; 1) отображается на точку M1. Определите координаты точки M1.
ответ: M1:

е)При параллельном переносе на вектор точка А (4; –9) отобразилась на точку А1 (1; –6). Укажите координаты вектора .
1){–3; –3}
2){–3; 3}
3){3; 3}
4){3; –3}

ж)При повороте вокруг начала координат на угол 90° по часовой стрелке точка C (–3; 2) отображается на точку C1. Определите координаты точки C1.
ответ: C1:

и)При параллельном переносе на вектор точка А (–6; 2) отображается в ту же точку, что и при симметрии относительно начала координат. Найдите координаты вектора .
1){–12; 0}
2){–12; –4}
3){0; –4}
4){12; –4}

ВЕ=АС/4=6 ⇒ АС=6•4=24

Пусть О - т.пересечения диагоналей. 

Диагонали  параллелограмма делятся пополам.

АО=24:2=12

Обозначим Н точку пересечения ВЕ и АО 

В ∆ АВО биссектриса ВН перпендикулярна основанию АО. ⇒  ВЕ - высота. 

Если биссектриса треугольника совпадает с высотой,  этот треугольник равнобедренный,  поэтому  ВН - медиана, и АН=НО=6

Проведем СК║ВЕ.  

АD=BC, ЕК=ВС. ⇒

Параллелограммы АВСD и ВСКЕ равновелики - 

высота DH  параллелограммов и сторона, BC, к которой эта высота проводится - общие.

           S АВСD=S BCKE 

В параллелограмме ВСКЕ  НС⊥ВЕ.⇒ НС - его высота. 

Ѕ (ВСКЕ)=СН•ВЕ=18•6=108 =Ѕ(ABCD)

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. 

Ѕ ∆ АВС=Ѕ АВСD:2=54⇒

BH=2S∆ ABC:2=108:24=4,5

Из прямоугольного ∆ АВС по т.Пифагора 

АВ=√(АН²+ВН²)=√56,25=7,5

Из прямоугольного ВНС по т.Пифагора 

ВС=√(CH²+BH²)=√344,25=4,5√17

АВ=CD=7,5; AD=BC=4,5√17

Дан прямоугольный треугольник АВС (угол С=90°). В этом треугольнике провели окружность так, что катет ВС-диаметр этой окружности. К-точка пересечения  этой окружности и гипотенузы. Найти длину отрезка СК, если ВС=а, АС=b

Так как ВС - диаметр, а К - точка на окружности, то угол СКВ, опирающийся на диаметр,-  прямой, и СК - высота ∆ АВС.

Воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника. 

S=BC•AB:2

S=a•b:2

Площадь можно найти и по формуле 

S=a•h:2, где а - гипотенуза, h- высота. проведенная к ней. ⇒

h=2S:AB

AB=√(BC²+AC²)=√(a²+b²)

h=ab:√(a²+b²)