ABCD параллелограмм. BA= а, BC= b. N – середина АD. Выразите BN через   a и  b 

​

 Пусть дан равнобедренный треугольник АВС, АВ=АС

Тогда угол В=угол С (углы при основании равнобедренного треугольника равны)

Сумма углов треугольника равна 180 градусов

1 случай. угол А=угол В+30 градусов. Тогда

угол А+угол В+угол С=180 градусов

угол В+30градусов+угол В+угол В=180 градусов

3*угол В+30 градусов =180 градусов

3*угол В=180 градусов-30 градусов

3*угол В=150 градусов

угол В=150 градусов:3

угол В=50 градусов

угол С=угол В=50 градусов

угол А=угол В+30 градусов=50 градусов+30 градусов=80 градусов

овтет: 50 градусов, 50 градусов, 80 градусов

2 случай. угол В=угол А+30 градусов

угол А+Угол В+угол С=180 градусов

угол А+угол А+30 градусов+угол А+30 градусов=180 градусов

3*угол А+60 градусов=180 градусов

3*угол А=180 градусов-60 градусов

3*угол А=120 градусов

угол А=120 градусов:3=40 градусов

угол В=угол С=угол А+30 градусов=40 градусов+30 градусов=70 градусов

овтет: 70 градусов, 70 градусов, 40 градусов

Сделаем рисунок.

Обозначим точку пересечения биссектрис буквой О.
Обратим внимание на две параллельные прямые ВС и МN
Они пересекаются:

1) Секущей ВВ1.

При этом образуются равные накрестлежащие углы СВО и ВОМ по свойству параллельных прямых и секущей.
Но ∠ СВО=∠ВОМ по условию задачи.
Отсюда  ᐃВМО - равнобедренный. МО=МВ

2) Секущей СС1.

При этом образуются равные накрестлежащие углы ВСО и СОN по свойству параллельных прямых и секущей.
Но ∠ОСN=∠ВОС по условию задачи.
ᐃ ОСN - равнобедренный и ОN=NС
Из этого следует, что МО+ОN=ВМ+СN,
иначе МN=ВМ+СN, что и требовалось доказать.