Пусть диагонали ОСНОВАНИЯ (не параллелепипеда) m и n, а высота (она же боковая сторона) h, тогда h = m*tg(60) = n*tg(45); тот есть m*корень(3) = n (и равно = h); Теперь смотрим на основание. Параллелограмм, у него стороны 17 и 31, и отношение диагоналей m/n = корень(3). Обозначим острый угол A. Тогда n лежит напротив него (а m - напротив тупого угла 180 - А).
1. поскольку A1D1 II CВ, то можно искать угол между АСВ1 и СВ.
2. Поскольку точка С принадлежит плоскости АСВ1, то для построения проекции СВ на АСВ1 достаточно построить проекцию точки В на эту плоскость.
3. Диагональное сечение DBB1D1 перпендикулярно прямой АС, поскольку в нем есть 2 прямых, перпендикулярных АС - это BD и ВВ1. Поэтому плоскости DBB1D1 и АСВ1 перпедикулярны (АСВ1 содержит прямую, пепендикулярную другой плоскости DBB1D1). Отсюда следует, что если в плоскости DBB1D1 выделить треугольник ВВ1О, где О - середина АС (центр квадрата АВСD), то высота ВМ, проведенная к гипотенузе ВО, и есть перпендикуляр к плоскости АВС1. В самом деле, ВМ перпендикулярно В1О и АС (напомню - АС перпендикулярно плоскости DBB1D1), то есть 2 прямым в плоскости АСВ1.
4. Таким образом, точка М - проекция В на ACB1, и синус искомого угла равен ВМ/ВС. Пусть ВС = 1 (примем сторону куба за единицу длины). Найдем ВМ.
5. Для этого вернемся к треугольнику В1ВО. ВВ1 = 1; ВО = 1/корень(2); вычисляем В1О = корень(1 + 1/2) = корень(3/2);
ВМ*В1О = ВВ1*ВО; (это просто площадь тр-ка, записанная ВМ = 1*(1/корень(2))/(корень(3/2)) = 1/корень(3);
Пусть диагонали ОСНОВАНИЯ (не параллелепипеда) m и n, а высота (она же боковая сторона) h, тогда h = m*tg(60) = n*tg(45); тот есть m*корень(3) = n (и равно = h); Теперь смотрим на основание. Параллелограмм, у него стороны 17 и 31, и отношение диагоналей m/n = корень(3). Обозначим острый угол A. Тогда n лежит напротив него (а m - напротив тупого угла 180 - А).
m^2 = 17^2 + 31^2 + 2*17*31*cos(A);
n^2 = 17^2 + 31^2 - 2*17*31*cos(A);
(m/n)^2 = 3 = (17^2 + 31^2 + 2*17*31*cos(A))/(17^2 + 31^2 - 2*17*31*cos(A));
2*17*31*cos(A) = (17^2 + 31^2)/2; (Не буду вычислять, не понадобится. На первый взгляд кажется, что нам нужен угол А, но...:))
n^2 = h^2 = (17^2 + 31^2)/2 = 625; n = h = 25; m = n*корень(3) = 25*корень(3);
d1 = n/cos(45) = 25*корень(2);
d2 = m/cos(60) = 50;
1. поскольку A1D1 II CВ, то можно искать угол между АСВ1 и СВ.
2. Поскольку точка С принадлежит плоскости АСВ1, то для построения проекции СВ на АСВ1 достаточно построить проекцию точки В на эту плоскость.
3. Диагональное сечение DBB1D1 перпендикулярно прямой АС, поскольку в нем есть 2 прямых, перпендикулярных АС - это BD и ВВ1. Поэтому плоскости DBB1D1 и АСВ1 перпедикулярны (АСВ1 содержит прямую, пепендикулярную другой плоскости DBB1D1). Отсюда следует, что если в плоскости DBB1D1 выделить треугольник ВВ1О, где О - середина АС (центр квадрата АВСD), то высота ВМ, проведенная к гипотенузе ВО, и есть перпендикуляр к плоскости АВС1. В самом деле, ВМ перпендикулярно В1О и АС (напомню - АС перпендикулярно плоскости DBB1D1), то есть 2 прямым в плоскости АСВ1.
4. Таким образом, точка М - проекция В на ACB1, и синус искомого угла равен ВМ/ВС. Пусть ВС = 1 (примем сторону куба за единицу длины). Найдем ВМ.
5. Для этого вернемся к треугольнику В1ВО. ВВ1 = 1; ВО = 1/корень(2); вычисляем В1О = корень(1 + 1/2) = корень(3/2);
ВМ*В1О = ВВ1*ВО; (это просто площадь тр-ка, записанная ВМ = 1*(1/корень(2))/(корень(3/2)) = 1/корень(3);
это ответ.