Раз сторона правильного треугольника 2*корень(3), то высота этого же треугольника будет равна стороне, умножить на косинус 30 градусов. Вычисляем: Н = 2 * корень(3) * корень(3) / 2 = 3.
Следовательно, радиус вписанной окружности равен R = 1/3 * Н = 1. Это потому, что высота в равностороннем треугольнике по совместительству является и медианой, а медиана делится точкой пересечения других медиан в отношении 2:1.
Итого, остаётся лишь подставить найденный радиус в формулу площади круга. S = пи*R^2 = пи*1 = пи. Такой выходит ответ.
Первый вопрос, который надо выяснить - в каком отношении точка O делит BM. (В общем случае ответ дает теорема Чевы (и Ван-Обеля), но в данном случае есть уникальная возможность сразу получить ответ.) Я продлеваю сторону AB за точку B до точки D, так, что AB = BD; точку D я соединяю с вершиной C. В треугольнике ADC BM - средняя линия, то есть BM II DC; кроме того, отрезок CB играет роль медианы. Поскольку BK:KC = 1:2; точка K - центроид треугольника ADC (ну, проще говоря, точка пересечения медиан). Поэтому AK - часть медианы ADC (при продолжении AK за точку K эта прямая разделит DC пополам в точке, которую я обозначу N). Само собой, это означает, что AK делит пополам и BM (там подобные треугольники ANC и AOM, AND и AOB, и CN = ND => MO = OB). Итак, точка O делит BM пополам. (Кажется, я так длинно изложил, но "в голове" это всего один шажок). Дальше все просто - из полученного следует, что от точки O до BC расстояние в 2 раза меньше, чем от точки M до BC. И BK = BC/3; Поэтому площадь BOK равна (1/2)*(1/3) = 1/6 от площади BMC; (ну, высота к основанию меньше в 2 раза, а само основание - в 3, роль "основания" играют BC и BK) а площадь BMC составляет 1/2 от площади ABC (аналогично предыдущему замечанию в скобках, только тут "основания" - AM и AC, а высота - расстояние от B до AС, в этом случае высота общая) ответ 1/12
Следовательно, радиус вписанной окружности равен R = 1/3 * Н = 1. Это потому, что высота в равностороннем треугольнике по совместительству является и медианой, а медиана делится точкой пересечения других медиан в отношении 2:1.
Итого, остаётся лишь подставить найденный радиус в формулу площади круга. S = пи*R^2 = пи*1 = пи. Такой выходит ответ.
(В общем случае ответ дает теорема Чевы (и Ван-Обеля), но в данном случае есть уникальная возможность сразу получить ответ.)
Я продлеваю сторону AB за точку B до точки D, так, что AB = BD; точку D я соединяю с вершиной C.
В треугольнике ADC BM - средняя линия, то есть BM II DC; кроме того, отрезок CB играет роль медианы. Поскольку BK:KC = 1:2; точка K - центроид треугольника ADC (ну, проще говоря, точка пересечения медиан). Поэтому AK - часть медианы ADC (при продолжении AK за точку K эта прямая разделит DC пополам в точке, которую я обозначу N).
Само собой, это означает, что AK делит пополам и BM (там подобные треугольники ANC и AOM, AND и AOB, и CN = ND => MO = OB).
Итак, точка O делит BM пополам.
(Кажется, я так длинно изложил, но "в голове" это всего один шажок).
Дальше все просто - из полученного следует, что от точки O до BC расстояние в 2 раза меньше, чем от точки M до BC. И BK = BC/3;
Поэтому площадь BOK равна (1/2)*(1/3) = 1/6 от площади BMC; (ну, высота к основанию меньше в 2 раза, а само основание - в 3, роль "основания" играют BC и BK)
а площадь BMC составляет 1/2 от площади ABC (аналогично предыдущему замечанию в скобках, только тут "основания" - AM и AC, а высота - расстояние от B до AС, в этом случае высота общая)
ответ 1/12