АВ –диаметр окружности с центром в точке О. ВС хорда. < ВОС = 50°. Найдите углы треугольника АВС.

Объяснение:

треугольник является прямоугольным, когда выполняется теорема Пифагора. Заменим a^4 = t; b^4 = m; c^4 = n;

2(t² + m² + n²) = (t + m + n)²

2t² + 2m² + 2n² = t² + m² + n² + 2tm + 2tn + 2mn

t² + m² + n² - 2tm - 2tn - 2mn = 0

(t-m)² + n² - 2tn - 2mn = 0

n² - 2n(t + m) + (t - m)² = 0

D/4 = (t+m)² - (t-m)² = 4mt ⇒ √D/2 = 2√(mt)

n = t + m ± 2√(mt) = (√t ± √m)²

Вернемся к замене:

c^4 = (√(a^4) ± √(b^4))²

c^4 = (a² ± b²)²

c² = | a² ± b² |

Возьмем знак "+", получим теорему Пифагора, что и требовалось доказать.

ответ: 3:4

Объяснение:

радиус (5х) описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы, т.е. гипотенуза = 10х;

радиус (2х) вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно вычислить по формуле: r = (a+b-c)/2

2x = (a+b-10x)/2

4x = a+b-10x

a+b = 14x

и по т. Пифагора a^2+b^2 = 100x^2

(a+b)^2 - 2ab = 100x^2

196x^2 - 100x^2 = 2ab

ab = 48x^2

(14x-b)*b = 48x^2

b^2 - b*14x + 48x^2 = 0

D=196x^2-4*48x^2=4x^2

b1 = (14x-2x)/2 = 6x ---> a1 = 14x-6x = 8x

b2 = (14x+2x)/2 = 8x ---> a2 = 14x-8x = 6x

т.е. меньший катет (6х),

больший катет (8х),

отношение 6:8 или 3:4