Целочисленный прямоугольный треугольник, это так называемая "пифагорова тройка" : a,b,c ∈ N, для которой выполняется равенство: a² + b² = c²
Согласно формуле Евклида, для любой пары натуральных чисел m и n (m>n) целые числа: являются пифагоровой тройкой. Причём, для примитивных троек разность m-n - нечетная.
Итак, гипотенуза равна 2018 = 2 · 1009. Так как 1009 - простое число, то пусть с = 1009
Так как c = m² + n², то для числа 1009 нужно подобрать сумму квадратов.
Дано пусть ∆ABC -прямоугольный (а,b-катеты, с -гипотенуза) S∆ABC=11 P=a+b+c=22 h к с=?
Площадь треугольника S∆ABC=½ab=½ch=11
т.к ½ab=½ch, то ab=ch , откуда h=ab/c по т Пифагора с²=а²+b² Тогда h=ab/c=ab/✓(a²+b²) (*)
Т.к. a+b+c=22 c=22-a-b возводим обе части в квадрат с²=22²-44(а+b)+(a+b)² с другой стороны , по т Пифагора: c²=a²+b² приравниваем выражения для с²: 484-44(а+b)+(a+b)²=a²+b² 484-44(a+b)+a²+2ab+b²=a²+b² 484-44(a+b)+2ab=0
Т.к. S∆ABC=½аb, то ab=2•S∆ABC=22 (1)
484-44(a+b)+44=0
11-(a+b)+1=0 => a+b=12
а²+b²=(a+b)²-2ab=12²-2•22=100 (2)
Возвращаемся к нашей высоте h (см (*)) h=ab/✓(a²+b²) = {подставляем (1) и (2)} =22/√100=2,2
Целочисленный прямоугольный треугольник, это так называемая "пифагорова тройка" : a,b,c ∈ N, для которой выполняется равенство: a² + b² = c²
Согласно формуле Евклида, для любой пары натуральных чисел m и n (m>n) целые числа:
являются пифагоровой тройкой. Причём, для примитивных троек разность m-n - нечетная.
Итак, гипотенуза равна 2018 = 2 · 1009. Так как 1009 - простое число, то пусть с = 1009
Так как c = m² + n², то для числа 1009 нужно подобрать сумму квадратов.
1009 = 31² + 48 = 30² + 109 = 29² + 168 - не подходят
1009 = 28² + 15² ⇒ m = 28; n = 15
Тогда a = m² - n² = 28² - 15² = 559; b = 2mn = 2·28·15 = 840
Числа 559, 840 и 1009 - пифагорова тройка.
Но в условии число 2018 вдвое больше числа 1009, значит искомая тройка 2·559; 2·840; 2·1009
Прямоугольный треугольник имеет стороны 1118, 1680, 2018 см
Проверка : 1118² + 1680² = 2018²
1 249 924 + 2 822 400 = 4 072 324
4 072 324 = 4 072 324
ответ: 1118 см, 1680 см, 2018 см
пусть ∆ABC -прямоугольный
(а,b-катеты, с -гипотенуза)
S∆ABC=11
P=a+b+c=22
h к с=?
Площадь треугольника
S∆ABC=½ab=½ch=11
т.к ½ab=½ch, то ab=ch , откуда
h=ab/c
по т Пифагора
с²=а²+b²
Тогда
h=ab/c=ab/✓(a²+b²) (*)
Т.к. a+b+c=22
c=22-a-b
возводим обе части в квадрат
с²=22²-44(а+b)+(a+b)²
с другой стороны , по т Пифагора:
c²=a²+b²
приравниваем выражения для с²:
484-44(а+b)+(a+b)²=a²+b²
484-44(a+b)+a²+2ab+b²=a²+b²
484-44(a+b)+2ab=0
Т.к.
S∆ABC=½аb, то
ab=2•S∆ABC=22 (1)
484-44(a+b)+44=0
11-(a+b)+1=0 => a+b=12
а²+b²=(a+b)²-2ab=12²-2•22=100 (2)
Возвращаемся к нашей высоте h (см (*))
h=ab/✓(a²+b²) =
{подставляем (1) и (2)}
=22/√100=2,2
ответ высота к гипотенузе = 2,2