∆АВС ∞ ∆KMN, АС = 3 см, MN = 4 см, угол А = 300. Найти: а) ВС, угол MKN; б) S ∆АBC : S ∆KMN ; в) отношение, в котором биссектриса угла С делит сторону АВ

Пусть EF параллельно DB . 
1. Так как EM=FM, то EF=2 FM. Треугольники CME и CMF равны по катету и острому углу. 
2. Треугольник AOD — прямоугольный, так как диагонали ромба взаимоперпендикулярны. Сторона АО=16/2=8, так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам.
По теореме Пифагора: DO=√AD²- AO² =√100-64=√36=6 . 
3. Треугольники DOC и EMC подобны, так как ∠DOC =∠FMC=90 , ∠α — общий.
CO/CM=8/(8- r)=к. 
4. Рассмотрим треугольник OAB: AO*BO=r*AB
 r=8*6/10=24/5
Коэффициент подобия k =8/(8- 24/5) =5/2.
СМ=8-24/5=16/5
Таким образом, DO/FM=5/2
FM=6*2/5=12/5
ЕF=2FM=24/5 
Площадь треугольника СЕF S=1/2*СМ*ЕF=1/2*16/5*24/5=192/25=7.68

Обозначим через y боковую сторону ,  другая боковая сторона  y+2. Меньшее основание обозначим через х, большее х+10. Опустим высоту к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой y+2, катетами 10 и y.  (y+2)²=y²+10²  4y=96  y=24  Высота трапеции, она же боковая сторона при прямом угле равна 24. Далее из прямоугольного треугольника с катетами 24 и х+10 (большее основание) и гипотенузой 30 (диагональ трапеции) находим х.  (х+10)²=30²-24²  (х+10)²= (30-24)(30+24)  (х+10)²=6*54
(х+10)²=6*6*3*3  х+10=18  х=8  S=(8+18)/2*24=312. ответ Площадь равен 312