Площади треугольников, имеющих равные высоты ( общую высоту), относятся как стороны, к которым высоты проведены. Основания треугольников АДЕ и ВСЕ равны половине СД каждое, а СД равна АВ. Их высоты равны высоте параллелограмма, проведенной к АВ. Следовательно, площадь каждого равна половине площади треугольника АВЕ, а сумма их площадей равна площади треугольника АВЕ, т.е. 65 см² Или проще: Площадь параллелограмма равна произведению его высоты на длину стороны, к которой эта высота проведена. Площадь треугольника АВЕ равна половине произведения высоты НЕ на АВ. Следовательно, она равна половине площади параллелограмма. Сумма площадей треугольников ADE и ВСЕ равна оставшейся половине площади параллелограмма, т.е. равна площади треугольника АВЕ и равна 65 см².
Оба случая очень простые, не понятно, почему эта задача вызывает проблемы.
Есть окружность радиуса r и две касательных к ней, проведенных из точки А вне окружности. Обозначим В и С точки касания. По свойствам касательных АВ = АС, и АВ перпендикулярно ОВ, АС перпендикулярно ОС, где О - центр окружности. Проведем прямую АО. По свойству биссектрисы каждая её точка равноудалена от сторон угла, поэтому АО - биссеткриса угла САВ (точка О обязательно лежит на биссетрисе, а через А и О можно провести только одну прямую).
Итак, угол ВАО = угол САО. Прямоугольные треугольники ВАО и САО, очевидно, равны - у них общая гипотенуза и равные острые углы, катеты, и вообще все...:))
Теперь рассмотрим отдельно оба случая.
1. r = 5, угол ВАС = 60 градусам. В этом случае треугольник АОВ имеет угол в 30 градусов (угол ВОА) против стороны ВО. Поэтому АО = 2*ВО = 10.
(Кстати, если не понятно, почему, можно проделать мысленно интересную штуку - попробуйте повернуть весь треугольник ОСА вокруг точки А по часовой стрелке, пока АС не совпадет с АВ. У вас получится равносторонний треугольник, поскольку ОС попадет точно на продолжение ОВ - это легко увидеть из равенства углов. Поэтому ОВ = ОС = АВ/2 :))
2. ОА = 14, угол ВАС = 90 градусов. В этом случае фигура АВСО - квадрат, и ОА - его диагональ, а ВО = СО = (конечно же, в этом случае) = АВ = АС - это радиус окружности. По теореме Пифагора (ну, если так просили, почему бы нет:))
Основания треугольников АДЕ и ВСЕ равны половине СД каждое, а СД равна АВ.
Их высоты равны высоте параллелограмма, проведенной к АВ.
Следовательно, площадь каждого равна половине площади треугольника АВЕ, а сумма их площадей равна площади треугольника АВЕ, т.е. 65 см²
Или проще:
Площадь параллелограмма равна произведению его высоты на длину стороны, к которой эта высота проведена. Площадь треугольника АВЕ равна половине произведения высоты НЕ на АВ.
Следовательно, она равна половине площади параллелограмма.
Сумма площадей треугольников ADE и ВСЕ равна оставшейся половине площади параллелограмма, т.е. равна площади треугольника АВЕ и равна 65 см².
Оба случая очень простые, не понятно, почему эта задача вызывает проблемы.
Есть окружность радиуса r и две касательных к ней, проведенных из точки А вне окружности. Обозначим В и С точки касания. По свойствам касательных АВ = АС, и АВ перпендикулярно ОВ, АС перпендикулярно ОС, где О - центр окружности. Проведем прямую АО. По свойству биссектрисы каждая её точка равноудалена от сторон угла, поэтому АО - биссеткриса угла САВ (точка О обязательно лежит на биссетрисе, а через А и О можно провести только одну прямую).
Итак, угол ВАО = угол САО. Прямоугольные треугольники ВАО и САО, очевидно, равны - у них общая гипотенуза и равные острые углы, катеты, и вообще все...:))
Теперь рассмотрим отдельно оба случая.
1. r = 5, угол ВАС = 60 градусам. В этом случае треугольник АОВ имеет угол в 30 градусов (угол ВОА) против стороны ВО. Поэтому АО = 2*ВО = 10.
(Кстати, если не понятно, почему, можно проделать мысленно интересную штуку - попробуйте повернуть весь треугольник ОСА вокруг точки А по часовой стрелке, пока АС не совпадет с АВ. У вас получится равносторонний треугольник, поскольку ОС попадет точно на продолжение ОВ - это легко увидеть из равенства углов. Поэтому ОВ = ОС = АВ/2 :))
2. ОА = 14, угол ВАС = 90 градусов. В этом случае фигура АВСО - квадрат, и ОА - его диагональ, а ВО = СО = (конечно же, в этом случае) = АВ = АС - это радиус окружности. По теореме Пифагора (ну, если так просили, почему бы нет:))
АВ^2 + BO^2 = AO^2; 2*r^2 = 14^2; r = 7*корень(2)/2