Проведем АН - биссектрису угла А. Тогда <AHC=180-2α (по сумме внутренних углов треугольника), <AHВ=180-(180-2α) = 2α (как смежные углы). Отметим, что НМ - высота равнобедренного треугольника АНС. Проведем КН параллельно АС.
KH = DM, так как DKHM - прямоугольник. Тогда из треугольника ВКН:
КН=ВН*Sin(90-α) = BH*Cosα. (так как <KHB=<C = α).
Итак, DM= BH*Cosα. В треугольнике АВН по теореме синусов:
BH/Sin(<BAH)=AB/Sin(<AHB). Или BH/Sinα=AB/Sin2α. => AB=BH*Sin2α/Sinα.
Но по формуле двойного угла Sin2α = 2Sinα*Cosα =>
АВ=BH*2Sinα*Cosα/Sinα = BH*2*Cosα.
DM/AB=BH*Cosα/BH*2*Cosα =1/2. => DM=2AB, что и требовалось доказать.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Построим треугольник А₁В₁С₁, совместив равные стороны АС и А₁С₁ данных треугольников как на рисунке, так, чтобы вершины В и В₁ оказались по разные стороны от прямой АС.
Тогда ΔВАВ₁ равнобедренный и значит ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника,
ΔВСВ₁ равнобедренный и ∠3 = ∠4, ⇒
∠АВС = ∠А₁В₁С₁ и значит ΔАВС = ΔА₁В₁С₁ по двум сторонам и углу между ними.
Проведем АН - биссектрису угла А. Тогда <AHC=180-2α (по сумме внутренних углов треугольника), <AHВ=180-(180-2α) = 2α (как смежные углы). Отметим, что НМ - высота равнобедренного треугольника АНС. Проведем КН параллельно АС.
KH = DM, так как DKHM - прямоугольник. Тогда из треугольника ВКН:
КН=ВН*Sin(90-α) = BH*Cosα. (так как <KHB=<C = α).
Итак, DM= BH*Cosα. В треугольнике АВН по теореме синусов:
BH/Sin(<BAH)=AB/Sin(<AHB). Или BH/Sinα=AB/Sin2α. => AB=BH*Sin2α/Sinα.
Но по формуле двойного угла Sin2α = 2Sinα*Cosα =>
АВ=BH*2Sinα*Cosα/Sinα = BH*2*Cosα.
DM/AB=BH*Cosα/BH*2*Cosα =1/2. => DM=2AB, что и требовалось доказать.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Построим треугольник А₁В₁С₁, совместив равные стороны АС и А₁С₁ данных треугольников как на рисунке, так, чтобы вершины В и В₁ оказались по разные стороны от прямой АС.
Тогда ΔВАВ₁ равнобедренный и значит ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника,
ΔВСВ₁ равнобедренный и ∠3 = ∠4, ⇒
∠АВС = ∠А₁В₁С₁ и значит ΔАВС = ΔА₁В₁С₁ по двум сторонам и углу между ними.