1) Экскурс в теорию: угол между плоскостями (ВАС) и (САН)- двугранный угол (НАСВ) измеряется градусной мерой линейного угла L HCB , образованного лучами СВ и СН , имеющими начало на ребре (АС) и перепендикулярными к нему,
т.е. L HCB = 60⁰. (см. рис.).
2) Углом между прямой и плоскостью наз-ся угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость, тогда углом между катетом ВС и плоскостью (САН) является L L HCB = 60⁰ .
3) Угол между гипотенузой АВ найдём, рассмотрев ΔАВН - прям.:
1. Пусть ∠А=α; т.к. центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы, то
АО=ВО=СО=R, и ∠А=∠В, как углы при основании равнобедренного ΔАОВ. Тогда ∠АОВ=180°-2∠А=180°-2α
2. Рассмотрим Δ ВОТ, где Т- основание высоты, проведенной к гипотенузе. ∠АОВ для него внешний угол при вершине О, потому равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов ΔАОВ, один из которых по условию равен углу А, это ∠ОВТ=α, а другой ∠ОТВ=90°, тогда используя свойство внешнего угла ∠АОВ=∠ОТВ+∠ОВТ, перепишем последнее равенство так 180-2α=90+α, откуда 3α=180-90; α=90/3=30, Значит,
ОТ= ОВ/2=R/2=0.5R, как катет, лежащий против угла в 30° в прямоугольном ΔВОТ.
Зная теперь АО и ОТ, найдем искомое расстояние АТ=АО+ОТ = R+0.5R=1.5R
1) Экскурс в теорию: угол между плоскостями (ВАС) и (САН)- двугранный угол (НАСВ) измеряется градусной мерой линейного угла L HCB , образованного лучами СВ и СН , имеющими начало на ребре (АС) и перепендикулярными к нему,
т.е. L HCB = 60⁰. (см. рис.).
2) Углом между прямой и плоскостью наз-ся угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость, тогда углом между катетом ВС и плоскостью (САН) является L L HCB = 60⁰ .
3) Угол между гипотенузой АВ найдём, рассмотрев ΔАВН - прям.:
sin L BAH = BH/AB = 0,5√3a/(a√2) =√6/4,
таким образом L BAH = arcsin √6/4.
ОТвет: 60⁰; arcsin √6/4.
УДАЧИ
1. Пусть ∠А=α; т.к. центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы, то
АО=ВО=СО=R, и ∠А=∠В, как углы при основании равнобедренного ΔАОВ. Тогда ∠АОВ=180°-2∠А=180°-2α
2. Рассмотрим Δ ВОТ, где Т- основание высоты, проведенной к гипотенузе. ∠АОВ для него внешний угол при вершине О, потому равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов ΔАОВ, один из которых по условию равен углу А, это ∠ОВТ=α, а другой ∠ОТВ=90°, тогда используя свойство внешнего угла ∠АОВ=∠ОТВ+∠ОВТ, перепишем последнее равенство так 180-2α=90+α, откуда 3α=180-90; α=90/3=30, Значит,
ОТ= ОВ/2=R/2=0.5R, как катет, лежащий против угла в 30° в прямоугольном ΔВОТ.
Зная теперь АО и ОТ, найдем искомое расстояние АТ=АО+ОТ = R+0.5R=1.5R
ответ 1.5R