Дано: ABCD – параллелограмм, AM : MB = 3 :1 , AN : ND = 2 : 3 , DM ∩ CN = P . Найти: DP : PM . Решение. Продолжим BA и CN до пересечения в точке K . ANK ∼ NCD ( A ∠ NK = D ∠ NC – вертикальные углы; A ∠ KN = NCD ∠ – накрест лежащие при BK CD и секущей CK ). AK AN 2 = = 2 , AK = CD . CD ND 3 3 3 3 AM = AB = CD . 4 4 2 3 17 KM = AK + AM = CD + CD = CD . 3 4 12 KMP ∼ CDP ( M ∠ PK = C ∠ PD – вертикальные углы; M ∠ KP = PCD ∠ – накрест лежащие при BK CD и секущей CK ). DP CD CD 12 = = = 12 . ответ: . PM MK 17 17 CD 17 12
Как правило, такое краткое условие дается с рисунком. Понимается так: Сечение конуса образует равносторонний треугольник АВС с основанием АС. Радиус основания конуса 10, образующая 12. ОК⊥АС. Требуется найти высоту конуса ВО и длину отрезка ОК
По условию ∆ АВС -равносторонний, боковые стороны равны 12, а диаметр основания равен 10•2=20. Следовательно, АВС не является осевым сечением конуса. Соединим центр О основания с А и С.
Треугольник АОС равнобедренный, АС=L=12 (из условия); высота ОК делит его на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой, равной R=10, и катетами АК=АС:2=6 и ОК (его длину нужно найти).
Отношение АК:ОА=6:10=3:5, следовательно, ∆ АОК "египетский, его катет ОК=8 ( можно найти по т.Пифагора)
Высота ВО конуса перпендикулярна основанию и проецируется в его центр. ∆ ВОС - прямоугольный. Катет ОС=R=10, гипотенуза ВС=12.
DP : PM .
Решение.
Продолжим BA и CN до пересечения в точке K .
ANK ∼ NCD ( A
∠ NK = D
∠ NC – вертикальные углы; A
∠ KN = NCD
∠
– накрест лежащие
при BK CD и секущей CK ).
AK
AN
2
=
=
2
, AK = CD .
CD
ND
3
3
3
3
AM = AB = CD .
4
4
2
3
17
KM = AK + AM = CD + CD =
CD .
3
4
12
KMP ∼ CDP ( M
∠ PK = C
∠ PD – вертикальные углы; M
∠ KP = PCD
∠
– накрест лежащие
при BK CD и секущей CK ).
DP
CD
CD
12
=
=
=
12
. ответ:
.
PM
MK
17
17
CD
17
12
По условию ∆ АВС -равносторонний, боковые стороны равны 12, а диаметр основания равен 10•2=20. Следовательно, АВС не является осевым сечением конуса. Соединим центр О основания с А и С.
Треугольник АОС равнобедренный, АС=L=12 (из условия); высота ОК делит его на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой, равной R=10, и катетами АК=АС:2=6 и ОК (его длину нужно найти).
Отношение АК:ОА=6:10=3:5, следовательно, ∆ АОК "египетский, его катет ОК=8 ( можно найти по т.Пифагора)
Высота ВО конуса перпендикулярна основанию и проецируется в его центр. ∆ ВОС - прямоугольный. Катет ОС=R=10, гипотенуза ВС=12.
По т.Пифагора ВО=√(ВС²-ОС²)=√(144-100)=2√11