B правильном тетраэдре PABC точки M и K - середины ребер соответственно AP и BC. Докажите, что отрезок МК перпендикулярен каждому из отрезков AP и BC ​(векторным

Если из вершины конуса опустить высоту Н на основание конуса, то радиус основания r соединит нижние точки образующей L и высоты Н. Получили прямоугольный треугольние с катетами r и Н и гипотенузой L. Угол между образующей L и радиусом основания r и есть угол β .
Тогда длина образующей равна L = r/cosβ.
Сечение представляет собой равнобедренный треугольник с углом α при вершине. Боковые стороны равны длине образующей L. Основание этого треугольника a = 2 L·sin (0.5α) = 2r·sin(0.5α)/cosβ
Высота этого треугольника h = L· cos(0.5α) = r·cos(0.5α)/cosβ
Площадь этого треугольника
S = 0.5 a·h = 0.5·2r·sin(0.5α)/cosβ  · r·cos(0.5α)/cosβ  = 0.5r²·sinα/cos²β

Рассмотрим треугольник ACB. Нам известно, что угол C равен 90, а угол A= 30, следовательно, угол ABC будет равен 60 градусов.Из этого же угла проведена биссектриса ВМ. Нам известно, что биссектриса делит угол пополам, т.е. угол СВМ=30 градусов, угол АВМ = 30 градусов. 
Рассмотрим треугольник ВСМ - прямоугольный.
МС = 1/2 ВМ
МС = 3 см;
Рассмотрим треугольник АМВ - равнобедренный (углы при основании равны). По свойству равнобедренного треугольника ВМ = МА = 6 см.
СА = 3+6 = 9 (см)
ответ: 9 см.

Подробнее - на -