Бісектриса кута а прямокутника abcd ділить його сторону bc на відрізки bm і mc завдовжки 10 см і 14 см відповідно.на відрузки якої довжини ця бісектриса ділить діагональ прямокутника?

Обозначим точку пересечения биссектрисы АМ с диагональю ВД через Р.Тогда ΔАМВ - равнобедренный, так как <МАД=<АМВ=45⁰, ВМ=АВ=10, 

ВС=ВМ+МС=10+14=24, АД=ВС, АД=24

Из ΔАВД: ВД²=АВ²+АД²=100+576=676, ВД=26

ВД=ВР+РД.

Обозначим ВР=х  ⇒  РД=ВД-х=26-х (см)

 ΔВМР подобен ΔАДР (по двум углам: <МАД=<АМВ, <АРД=<ВРМ как вертикальные)  ⇒

составим пропорцию        ВМ     ВР               10           х

                                                =             =

                                                АД      ДР                24       26-х  

10(26-х)=24х  ,  5(26-х)=12х  ,  130-5х=12х   ,  17х=130  ,  х=130/17=7 и 11/17 (см) =ВР

26-х=26-130/17=312/17=18 и 6/17 (см) =ДР

Пусть точка пересечения биссектрисы со стороной DC будет К, а точка пересечения биссектрисы DK и диагонали BD будет О.

Биссектриса угла параллелограмма ( а прямоугольник - параллелограмм) отсекает от него равнобедренный треугольник.

АDK- равнобедненный треугольник, и
АD=DK=10 см.
КС=14, ⇒DC=АВ=24 см
Диагональ прямоугольника, найденная по т.Пифагора, равна 26 см.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

Следовательно,

DO:OB=AD:АВ
DO:OB=10:24=5:12
Диагональ делится биссектрисой на 5+12=17 частей.
Одна часть равна 26/17
DO=26*5/17=≈18,35 см
OD=26*12/17=≈7,65 см