Сечение трапеции (вместе с шаром), проходящее через диагонали оснований и противоположные боковые ребра, это трапеция, у которой большое основание 2*b*корень(2), а три другие стороны b*корень(2). У этой трапеции центр описанной окружности лежит в середине большого основания (это легко показать, если провести через вершину малого основания трапеции прямую II противоположной боковой стороне - при этом получится равносторонний треугольник, из чего следует, что середина большого основания равноудалена от вершин трапеции. А это означает, что центр большего основания усеченной пирамиды РАВНОУДАЛЕН от вех вершин пирамиды. То есть это центр шара. Окружность, описанная вокруг этой трапеции, это осевое сечение шара, и мы сами не заметили, как нашли радиус шара:))) он равен боковому ребру, то есть b*корень(2)
когда угол наклона боковых граней пирамиды одинаковый, 1. апофемы пирамиды все равны между собой 2. их проекции - это радиусы вписанной окружности (кстати, в основание должна вписываться окружность, обязательно, для треугольника это всегда, а вот для других многоугольников - может быть и не так :))
Высота пирамиды, радиус вписаной в основание окружности и апофема образуют прямоугольный треугольник с углом напротив высоты пирамиды в 60 градусов.
Осталось найти радиус вписанной в прямоугольный треугольник с углом 30 градусов и противолежащим катетом 6. Стороны этого треугольника - гипотенуза 12, второй катет 6*корень(3),
Сечение трапеции (вместе с шаром), проходящее через диагонали оснований и противоположные боковые ребра, это трапеция, у которой большое основание 2*b*корень(2), а три другие стороны b*корень(2). У этой трапеции центр описанной окружности лежит в середине большого основания (это легко показать, если провести через вершину малого основания трапеции прямую II противоположной боковой стороне - при этом получится равносторонний треугольник, из чего следует, что середина большого основания равноудалена от вершин трапеции. А это означает, что центр большего основания усеченной пирамиды РАВНОУДАЛЕН от вех вершин пирамиды. То есть это центр шара. Окружность, описанная вокруг этой трапеции, это осевое сечение шара, и мы сами не заметили, как нашли радиус шара:))) он равен боковому ребру, то есть b*корень(2)
когда угол наклона боковых граней пирамиды одинаковый, 1. апофемы пирамиды все равны между собой 2. их проекции - это радиусы вписанной окружности (кстати, в основание должна вписываться окружность, обязательно, для треугольника это всегда, а вот для других многоугольников - может быть и не так :))
Высота пирамиды, радиус вписаной в основание окружности и апофема образуют прямоугольный треугольник с углом напротив высоты пирамиды в 60 градусов.
Осталось найти радиус вписанной в прямоугольный треугольник с углом 30 градусов и противолежащим катетом 6. Стороны этого треугольника - гипотенуза 12, второй катет 6*корень(3),
r = (6 + 6*корень(3) - 12)/2 = 3*(корень(3) - 1);
H = r*корень(3) = 3*(3 - корень(3));