Билет № 13 1. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов: определение и свойства.
2. Формулы площади треугольника.
3.1. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо - 3 м. На какую высоту (в метрах) опустится конец короткого
шеча, когда конец длинного плеча поднимается на 1,8 м?
3.2 К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая АО. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, АО
= 13 см.
3.3. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 и 6.
4.1. Верпгины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых
относятся, как 6:7:23. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон треугольника равна 12.
4.2. Биссектрисы углов В и С трапеции ABCD пересекаются в точке 0 , лежащей на стороне AD . Докажите, что точка о
равноудалена от прямых AB, BC и CD.
Вертикальное ребро SA - высота пирамиды, равна 8√3 см.
SД - высота наклонной боковой грани,
АД - высота основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SАД.
По заданию угол SАД равен 30 градусов.
Тогда высота АД = SA/(tg 30) = 8√3/(1/√3) = 8*3 = 24 см.
Высота SД = SА/(sin 30) = 8√3/(1/2) = 16√3 см.
Площадь основания So = (1/2)*12*24 = 144 см².
Боковое ребро основания равно:
АС = √(24²+6²) = √(576 + 36) = √612 = 6√17 см.
Площадь боковой поверхности равна:
Sбок = 2*(1/2)*(6√17)*(8√3) + (1/2)*12*16√3 =
= 48√51 + 96√3 = 48(√51 + 2√3) см².
Полная площадь поверхности пирамиды равна:
S = So + Sбок = 144 + 48(√51 + 2√3) см².
∠1 = ∠2, так как ВМ биссектриса,
∠1 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей ВМ, значит
ΔАВМ равнобедренный, АВ = ВМ.
∠4 = ∠5 так как СМ биссектриса,
∠4 = ∠6 как акрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей СМ, значит
ΔCDМ равнобедренный, CD = DМ.
Противоположные стороны параллелограмма равны, AB = CD, значит
АВ = ВМ = MD = DC = x
ВС = AD = 2x
Зная периметр, получаем:
6x = 42
x = 7
AB = CD = 7 см
BC = AD = 2·7 = 14 см