Биссектрисы AI и CI треугольника ABC пересекают - вопрос №12583383 от mashanlo2006 01.01.2023 19:54

Question

Геометрия: Биссектрисы AI и CI треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках A1 и C1 . Докажите, что A1C1⊥BI.​

mashanlo2006 · Answer

Радиус проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, т.е.
<ATM = 90°. Тогда треугольник ATM - прямоугольный.
По теореме Пифагора найдем ТМ (по условию ТМ - это диаметр окружности).
AM² = AT² + TM²
AM = AE+ME = 2+ 10 = 12.
TM² = AM² - AT² = 12² - 6² = 6²·2² - 6² = 6²·(4-1) = 3*6²,
TM = √(3*6²) = 6*√3.
Искомый радиус равен половине диаметра ТМ.
R = TM/2 = (6*√3)/2 = 3*√3.
Угол между касательной и секущей, проходящей через точку касания, равен половине отсекаемой дуги окружности.
<ATE = (1/2)*дуги_ТЕ,
Но также и вписанный <EMT = (1/2)*дуги_TE,
Тогда <ATE=<EMT=<AMT
Из прямоугольного треугольника ATM
sin(<AMT) = AT/AM = 6/12 = 1/2.
<AMT = arcsin(1/2) = 30° = <ATE.

Биссектрисы AI и CI треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках A1 и C1 . Докажите, что A1C1⊥BI.​

Биссектрисы AI и CI треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках A1 и C1 . Докажите, что A1C1⊥BI.