Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы имеет площадь 16 дм2.Диагональ основания призмы равна 4√ дм. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания.

1. По теореме синусов:
a : sinA = b : sinB
sinB = b · sinA / a
sinB = 7 · sin60° / 10 = 7√3/20 ≈ 0,6062
∠B ≈ 37°

∠C = 180° - ∠A - ∠B ≈ 180° - 60° - 37° ≈ 83°

По теореме синусов:
a : sinA = c : sinC
c = a · sinC / sinA
c ≈ 10 · 0,9925 / 0,866 ≈ 11,5

2.
По теореме косинусов:
b² = a² + c² - 2ac·cosB
cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)
cosB = (36 + 23,04 - 53,29) / 57,6
cosB ≈ 0,0998
∠B ≈ 83°

По теореме косинусов:
a² = b² + c² - 2bc·cosA
cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)
cosA = (53,29 + 23,04 - 36) / 70,08
cosA ≈ 0,5755
∠A ≈ 54°

∠C = 180° - ∠B - ∠A ≈ 180° - 83° - 54° ≈ 43°

При решении всех задач используется свойство прямоугольного треугольника:
В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

1. ВС = АВ/2 = 40/2 = 20 как катет, лежащий напротив угла в 30°.

2. ВС = АВ/2 = 100/2 = 50 как катет, лежащий напротив угла в 30°.

3. Обозначим ВС = х, тогда АВ = 2х по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°. По теореме Пифагора:
x² + (34√3)² = (2x)²
x² + 34² · 3 = 4x²
3x² = 34² · 3
x² =  34²
x = 34
BC = 34, ⇒ AB = 68

4. Обозначим ВС = х, тогда АВ = 2х по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°. По теореме Пифагора:
x² + (10√3)² = (2x)²
x² + 10² · 3 = 4x²
3x² = 10² · 3
x² =  10²
x = 10
BC = 10, ⇒ AB = 20

5. Обозначим ВС = х, тогда АВ = 2х по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°. По теореме Пифагора:
x² + (19√3)² = (2x)²
x² + 19² · 3 = 4x²
3x² = 19² · 3
x² =  19²
x = 19
BC = 19