Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 5 : 3, считая от вершины. Найдите основание треугольника, если его периметр равен 66.

Условие задачи неполное. Должно быть так:

Найдите объем прямой призмы АВСАВ₁С₁, если

∠АВ₁С = 60°, АВ₁ = 3, СВ₁ = 2 и двугранный угол с ребром ВВ₁ прямой.

Призма прямая, значит боковые грани - прямоугольники. Тогда

АВ⊥ВВ₁, СВ⊥ВВ₁, значит ∠АВС = 90° - линейный угол двугранного угла с ребром ВВ₁.

Из треугольника АВ₁С по теореме косинусов найдем АС:

АС² = AB₁² + CB₁² - 2·AB₁·CB₁·cos∠AB₁C

AC² = 9 + 4 - 2 · 3 · 2 · 1/2 = 13 - 6 = 7

AC = √7

Пусть АВ = а, ВС = b, ВВ₁ = с.

По теореме Пифагора составим три уравнения:

ΔАВС:  a² + b² = 7

ΔABB₁:  a² + c² = 9

ΔCBB₁:  b² + c² = 4

Получили систему из трех уравнений с тремя переменными. Сложим все три уравнения:

2(a² + b² + c²) = 20

a² + b² + c² = 10

Теперь из этого уравнения вычтем каждое. Получим:

с² = 3

b² = 1

a² = 6

Откуда:

с = √3,  b = 1,  a = √6.

V = Sabc · BB₁ = 1/2 · ab · c = 1/2 · √6 · 1 · √3 = 3√2/2

Касательная, которая параллельна основанию АВ и пересекает боковые стороны АС и АВ в точках M и N соответственно, образует подобный треугольник СМN.
Высота его .
Тогда тангенс половины угла С равен 10/24 = 5/12.
Для треугольника СМN окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, будет вневписанной. Её радиус равен:
, где р - полупериметр треугольника СМN.
r = ((2*26+20)/2) * 5/12 = 36*5/12 = 15.
Высота треугольника АВС равна Н = 24+2*15 = 54.
Основание равно 2Htg(C/2) = 2*54*5/12 = 45/
Площадь треугольника АВС равна 1/2*54*45 = 1215.