Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 8 см и образует с плоскостью основания пирамиды 45 градусов.
Найти: а)высоту пирамиды, б)площадь боковой поверхности пирамиды

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 8 см и образует с плоскостью основания пирамиды 45 градусов.

Найти: а)высоту пирамиды, б)площадь боковой поверхности пирамиды

Объяснение:

Пусть АВСМР-правильная 4-угольная пирамида , с основанием АВСМ, РА=8 см .

В правильной пирамиде  вершина проецируется в центр основания ( т.О), т.е в точку пересечения диагоналей.Тогда углом между между боковым ребром и и плоскостью основания (АВС) будет ∠РАО=45°.

а) ΔАРО-прямоугольный, sin45°=РО/АР, √2/2=РО/8  ,РО=4√2 см.

И отрезок АО=4√2 см, т.к ΔАРО-равнобедренный ( ∠АРО=90°-∠РАО=90°-45°=45°).

б) S(бок.)=1/2Р(осн)*a, где а-апофема.

ΔАОМ-прямоугольный и АО=ОМ, по свойству диагоналей квадрата.

Значит по т. Пифагора АМ=√( (4√2)²+(4√2)²)=8 (см), АМ=АВ=ВС=СМ=8см.

Пусть ОН⊥АМ, тогда ОН=1/2АВ=4 см.

ΔОНР-прямоугольный , по т. Пифагора НР=√( РО²+ОН²)=√(16*2+16)=√16*3=4√3 (см).  Значит а=4√3 см.

S(бок.)=1/2(4*8)*4√3=64√3 (см²)