Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1,а угол между ними 20 градусов. Докажите, что его основание больше 1/3

Пусть ∠C = 2y, ∠BAD = α, ∠CAD = 3α, CE – диаметр описанной окружности ω треугольника CDO. Тогда ∠ODE = ∠OCE = y, ∠CDE = 90°, ∠DEC = 90° – 2y. Точка A лежит на продолжении отрезка DO за точку O, поэтому она находится дальше от центра ω, чем точка O. Значит, DEC – внешний угол треугольника ADE, откуда ∠DEC = 90° – 2y = 3α + y, то есть α = 30° – y. Поэтому ∠B = 180° – 2y – 4α = 60° + 2y.
По теореме синусов и условию задачи sin2y/sin(60°+2y)=2/3. После очевидных преобразований получим: 3 sin2y = √3 cos2y + sin2y, tg2y = √3/2, откуда cos²2y=1/1+tag²2y = 4/7, а так как 2y < 90° (как острый угол прямоугольного треугольника CDE), то cos 2y = 2/√7.
ответ: 2/√7.

Задача

В основе прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60 и боковой стороной 4 см. Диагонали трапеции являются биссектрисами острых углов. Диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45. Найти объем призмы.

Объяснение:

АВСD-трапеция,∠А=∠D=60°, АС-биссектриса ∠А, DВ-биссектриса ∠D,  АВ=СD=4 см, ∠ВDВ₁=45°.

Т.к. DВ-биссектриса  ∠D, то ∠АDВ=30°,

ΔАВD, ∠А=60° , ∠АDВ=30° ⇒ ∠АВD=90°. Поэтому ΔАВD-прямоугольный :    tg60°=ВD/ВА или  √3=ВD/4 или ВD=4√3 см

cos60°=ВА/АD или 0,5=4/АD  , АD=8 см.

АD║ВС,АD-секущая ⇒  ∠АDВ=∠DВС=30°  как накрест лежащие.Поэтому ΔDВС- равнобедренный и СВ=СD=4 см.

ΔВDВ₁-прямоугольный и равнобедренный( ∠ВDВ₁=45° ⇒∠ВВ₁D=45°), поэтому ВВ₁=ВD=4√3 см.

V=P(осн)*h.

V=(4+4+4+8)*4√3 =80√3 ( см³)