Будь-який трикутник, сторони якого пропорційні числам 3, 4 і 5, — прямокутний. Знайдіть радіусі довжину кола: а) описаного навколо трикутника зі сторонами 15 м, 20 м і 25 м; б) в писаного у трикутник зі сторонами 15 м, 12 м і 9 м.

№1 
КМ и КН отрезок касательных проведенных из точки К к окружности с центром О.Найти КМ иКН если ОК=12 и угол МОН=120 градусам. 
№2 
Диагональ ромба ABCD пересекаются в точке О.Доказать что прямая ВD касается окружности с центром А и радиусом ОС

1. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, т. е. КМ=КН
КО - биссектриса угла МОН, след-но тр-ники КОМ и КОН - прямоугольные, с углами= 90, 60, 30 град.
ОМ=ОН=6см. , КМ=КН=sqrt(144-36)=7sqrt2
2. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, т. е. АО=ОС, отсюда диагональ ромба ВD касается окружности с центром А и радиусом ОС

4 и 4

Объяснение:

По свойству параллельных прямых и секущей сумма углов при одной стороне параллелограмма равна 180°. Следовательно, биссектрисы его соседних углов пересекаются под прямым углом. Поэтому четырехугольник, образованный четырьмя биссектрисами параллелограмма - прямоугольник.    Обозначим его вершины К, L, M и N.

Биссектрисы параллелограмма, являясь секущими,  отсекают от него равнобедренные треугольники  ( они делят углы пополам, и накрестлежащие углы тоже равны). Противоположные стороны параллелограмма равны =>

АВ=BQ=AT=CD=CR=DS=8   Тогда ВR=12-CR=4.  Аналогично  длина отрезков  QC,, DT,, AS равна 4.

Отрезки   QR и TS равны 12-2•4=4.  

По 1-му признаку равенства треугольников ∆ АВТ=∆ RCD и  ∆ ABQ=∆ СDS ⇒ их стороны и углы, заключённые между ними, равны.

В равнобедренном треугольнике биссектриса=высота=медиана. ⇒ BL=LT=RN=ND

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны: ВТ║RD,  а BR║TD как лежащие на параллельных сторонах ABCD.

Из доказанного выше BL=RN. ⇒   BL=RN. ⇒

Четырехугольник BRNL – параллелограмм, ⇒LN=BR=4

LN - диагональ прямоугольника  KLMN. Диагонали прямоугольника равны.

КМ=LN=4 (ед. длины)