Я тут много раз приводил доказательство ПРЯМОЙ теоремы Чевы в обычной геометрической форме. Для разнообразия я сделаю по другому. слова "площадь треугольника ABC" будут записываться, как Sabc. Треугольник ABC, прямые AA1 BB1 CC1 пересекаются в одной точке O (точки A1, B1, C1 лежат на сторонах, противоположных одноименным вершинам). В классической формулировке требуется доказать, что (AC1*BA1*CB1)/(C1B*A1C*B1A) = 1; Я обозначу для краткости γ α β ∠ ∠AOC1 = ∠COA1 = α; ∠BOC1 = ∠COB1 = β; ∠BOA1 = ∠AOB1 = γ; Тогда площади 6 треугольников, на которые разрезан ABC этими прямыми, запишутся так (я нарочно перечисляю треугольники не по порядку) Saoc1 = AO*OC1*sin(α)/2; Scob1 = CO*OCB*sin(β)/2; Sboa1 = BO*OA1*sin(γ)/2; Scoa1 = CO*OA1*sin(α)/2; Sboc1 = BO*OC1*sin(β)/2; Saob1 = AO*OB1*sin(γ)/2; Легко видеть, что произведение площадей в первой тройке равно произведению площадей во второй. Saoc1*Sboa1*Scob1 = Sboc1*Scoa1*Saob1; Пусть расстояние от точки O до AB равно h1; до BC - h2; до AC - h3; Если теперь выразить площади через отрезки сторон и эти "высоты" (то есть расстояния от точки O до сторон) то AC1*h1*BA1*h2*CB1*h3 = C1B*h1*A1C*h2*B1A*h3; (AC1*BA1*CB1)/(C1B*A1C*B1A) = 1; чтд.
2)высота пирамиды опущена в точку пересечения медиан медианы точкой пересечения делятся как 2 к 1 AH/HD=2 тк АВС- равносторонний треугольник, то AD=AC·cos30=2√3 AH=(4√3)/3 по теореме Пифагора SH²=AS²-AH²=36-(16/3) SH=(2√69)/3 S(основания)=AD·BC·(1/2)=4√3 V=(1/3)·H·S(oснования)=(4√3·2√69)/9=(8√23)/3
3)треугольники BDE и ВАС подобны BG/BF=1/2 AC=2FC=24=2DE DE=12 GE=DE/2=6 S=πR²=36π
слова "площадь треугольника ABC" будут записываться, как Sabc.
Треугольник ABC, прямые AA1 BB1 CC1 пересекаются в одной точке O (точки A1, B1, C1 лежат на сторонах, противоположных одноименным вершинам).
В классической формулировке требуется доказать, что
(AC1*BA1*CB1)/(C1B*A1C*B1A) = 1;
Я обозначу для краткости γ α β ∠
∠AOC1 = ∠COA1 = α;
∠BOC1 = ∠COB1 = β;
∠BOA1 = ∠AOB1 = γ;
Тогда площади 6 треугольников, на которые разрезан ABC этими прямыми, запишутся так (я нарочно перечисляю треугольники не по порядку)
Saoc1 = AO*OC1*sin(α)/2; Scob1 = CO*OCB*sin(β)/2; Sboa1 = BO*OA1*sin(γ)/2;
Scoa1 = CO*OA1*sin(α)/2; Sboc1 = BO*OC1*sin(β)/2; Saob1 = AO*OB1*sin(γ)/2;
Легко видеть, что произведение площадей в первой тройке равно произведению площадей во второй.
Saoc1*Sboa1*Scob1 = Sboc1*Scoa1*Saob1;
Пусть расстояние от точки O до AB равно h1; до BC - h2; до AC - h3;
Если теперь выразить площади через отрезки сторон и эти "высоты" (то есть расстояния от точки O до сторон) то
AC1*h1*BA1*h2*CB1*h3 = C1B*h1*A1C*h2*B1A*h3;
(AC1*BA1*CB1)/(C1B*A1C*B1A) = 1; чтд.
OD=BD/2=8
по теореме Пифагора
AD²=AO²+OD²
AD=4√13
S(основания)=AO·BD=12·16=192
S(боковой грани)=AA1·AD=8·4√13=32√13
S(полной поверхности)=2S(основания)+4S(боковой грани)=2·192+4·32√13=128(3+√13)
2)высота пирамиды опущена в точку пересечения медиан
медианы точкой пересечения делятся как 2 к 1
AH/HD=2
тк АВС- равносторонний треугольник, то
AD=AC·cos30=2√3
AH=(4√3)/3
по теореме Пифагора
SH²=AS²-AH²=36-(16/3)
SH=(2√69)/3
S(основания)=AD·BC·(1/2)=4√3
V=(1/3)·H·S(oснования)=(4√3·2√69)/9=(8√23)/3
3)треугольники BDE и ВАС подобны
BG/BF=1/2
AC=2FC=24=2DE
DE=12
GE=DE/2=6
S=πR²=36π
4)по теореме Пифагора
BD²=AB²-AD²
BD=12
V=(1/3)H·S(основания)=(1/3)·12π·81=324π