1. Угол КАВ - угол между касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине градусной меры дуги АВ, заключённой между его сторонами. Вписанный угол АСВ опирается на эту же дугу АВ, а вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, ∠АСВ = ∠КАВ, что и требовалось доказать.
2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то ∠АВК =∠ВАС. ∠АСВ = ∠КАВ (доказано выше).
По сумме внутренних углов треугольников АВС и КАВ имеем:
∠АВС = 180 - (∠АСВ + ∠ВАС)
∠АКВ = 180 - (∠КАВ + ∠АВК) =>
∠АВС = ∠АКВ. => ∠АВК = ∠АКВ =>
Треугольник КАВ - равнобедренный, так как углы при основании ВК равны. Что и требовалось доказать.
3. Треугольники АСВ и КАВ подобны по 2 признаку подобия (по двум углам) с коэффициентом подобия k = АС/АВ. (Отношение соответственных сторон треугольников).
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Sabc/Sabk = k² = АС²/АВ².
По теореме косинусов в тр-ке АВС найдем:
АВ²=2АС²-2АС²·Cosα = 2АC²·(1-Cosα).
Тогда k²=АС²/(2АC²·(1-Cosα)) = 1/(2·(1-Cosα)). =>
к² зависит только от угла α, то есть
отношение площадей зависит только от величины угла АСВ.
Две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, поэтому выполняются следующие положения: углы 2 и 4 равны как вертикальные, сумма 4 и вертикального угла углу 1 равна 180° как внутренние односторонние, значит сумма углов 1 и 2 равна 180°, угол 1 составляет 5 частей, угол 2 - 4 части, всего 9 частей, тогда 1 часть 180°: 9 = 20°. угол 1 5·20° = 100°, угол 2 - 4·20° = 80°. угол 4 равен 80°(как вертикальный углу 2). угол 3 и угол 4 – смежные, их сумма равна 180°. угол 3 равен 180° - угол 4 = 180° -80° = 100°.
Я отвечу только на второе
Доказательства в объяснении.
Объяснение:
1. Угол КАВ - угол между касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине градусной меры дуги АВ, заключённой между его сторонами. Вписанный угол АСВ опирается на эту же дугу АВ, а вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, ∠АСВ = ∠КАВ, что и требовалось доказать.
2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то ∠АВК =∠ВАС. ∠АСВ = ∠КАВ (доказано выше).
По сумме внутренних углов треугольников АВС и КАВ имеем:
∠АВС = 180 - (∠АСВ + ∠ВАС)
∠АКВ = 180 - (∠КАВ + ∠АВК) =>
∠АВС = ∠АКВ. => ∠АВК = ∠АКВ =>
Треугольник КАВ - равнобедренный, так как углы при основании ВК равны. Что и требовалось доказать.
3. Треугольники АСВ и КАВ подобны по 2 признаку подобия (по двум углам) с коэффициентом подобия k = АС/АВ. (Отношение соответственных сторон треугольников).
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Sabc/Sabk = k² = АС²/АВ².
По теореме косинусов в тр-ке АВС найдем:
АВ²=2АС²-2АС²·Cosα = 2АC²·(1-Cosα).
Тогда k²=АС²/(2АC²·(1-Cosα)) = 1/(2·(1-Cosα)). =>
к² зависит только от угла α, то есть
отношение площадей зависит только от величины угла АСВ.
Что и требовалось доказать.