Обозначим: Точки касания вписанной окружности с АВ - К, с СВ -М, с АС- Р. АР=АК, ВМ=ВК. Сл-но треугольники АОР=АОК, ВОК=ВОМ. Известна площадь треугольника АОВ, которая состоит из треугольников АОК и ВОК. Значит сумма площадей АОР и МОВ тоже равна 13. Площадь АВС по условию=30. 30-13-13=4. Это площадь квадрата СРОМ, сторона которого равна радиусу вписанной окружности. Отсюда радиус =2. Теперь можно вычислить гипотенузу, площадь треугольника АОВ=1/2*АВ*2 1/2*АВ*2=13 АВ=13. а²+b²=13² 1/2ab=30. Решаем систему уравнений. Выразим из второго b через а, b=60/а и подставляем в первое уравнение . а²+(60/а)²=169 Получим биквадратное уравнение а^4-169a^2+3600=0. Введем новую переменную t=a². Решаем квадратное уравнение, получим t=25. Сл-но а=5, b=60/5=12. ответ: стороны треугольника 5, 12, 13.
См. рис.1 Треугольники ВКС и AKD подобны по двум углам: угол СВК равен углу BDA- внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AВ и секущей BD. угол ВСК равен углу CAD-внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AВ и секущей АС. Из подобия треугольников СК:АК=ВС:AD=4:9. Пусть СК=х, тогда АК=9х/4 По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ВКС: ВК²=ВС²-КС²=16-х² Из прямоугольного треугольника АВК: АВ²=ВК²+АК²=16-х²+81х²/16=16+65х²/16. Из прямоугольного треугольника АВС: АС²=АВ²+ВС² (х+9х/4)²=16+65х²/16+16, (13х/4)²-65х²/16=32, 104х²/16=32, 52х²=256 х²=256/52 Тогда АВ²=16+(65·256)/(52·16)=36 АВ=6 По теореме Пифагора из треугольника СНD (см. рисунок 2): CD²=5²+6²=√61 Продолжим стороны трапеции до пересечения в точке Е Треугольники ВСЕ и СНД подобны по двум углам. ВЕ:СН=4:5 ⇒ВЕ=4,8 Середина АВ-точка М. АМ=МВ=3. ВМ=4,8+3=7,8 В треугольнике СНD sin HСВ=5/√61 sin ВЕС=sin HCB=5/√61 Из треугольника ВМТ: МТ=ВМ·sin ВЕС=7,8·5√61=39/√61
Треугольники ВКС и AKD подобны по двум углам:
угол СВК равен углу BDA- внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AВ и секущей BD.
угол ВСК равен углу CAD-внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AВ и секущей АС.
Из подобия треугольников СК:АК=ВС:AD=4:9.
Пусть СК=х, тогда АК=9х/4
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ВКС: ВК²=ВС²-КС²=16-х²
Из прямоугольного треугольника АВК: АВ²=ВК²+АК²=16-х²+81х²/16=16+65х²/16.
Из прямоугольного треугольника АВС: АС²=АВ²+ВС²
(х+9х/4)²=16+65х²/16+16,
(13х/4)²-65х²/16=32,
104х²/16=32,
52х²=256
х²=256/52
Тогда АВ²=16+(65·256)/(52·16)=36
АВ=6
По теореме Пифагора из треугольника СНD (см. рисунок 2):
CD²=5²+6²=√61
Продолжим стороны трапеции до пересечения в точке Е
Треугольники ВСЕ и СНД подобны по двум углам.
ВЕ:СН=4:5 ⇒ВЕ=4,8
Середина АВ-точка М. АМ=МВ=3. ВМ=4,8+3=7,8
В треугольнике СНD sin HСВ=5/√61
sin ВЕС=sin HCB=5/√61
Из треугольника ВМТ: МТ=ВМ·sin ВЕС=7,8·5√61=39/√61