C1. даны равносторонние треугольники авс и а1в1с1, о и о1 – соответственно точки пересечения медиан этих треугольников, оа = о1а1. докажите, что треугольники авс и а1в1с1 равны. 2. в тупоугольном равнобедренном треугольнике один из углов в четыре раза больше другого. медиана треугольника, проведенная к основанию, равна а. найдите боковую сторону. 4. точки в и d лежат по разные стороны от прямой ас. известно, что ав||dс, аd||вс. докажите, что ∠авс = ∠аdс, ав = dс, аd = вс. 5. в треугольнике авс внешние углы при вершинах а и в равны. докажите, что 2ас > ав. 6. в равнобедренном треугольнике авс угол в – тупой. высота вd равна 8 см. найдите периметр треугольника авс, если периметр треугольника авd равен 24 см. 7. угол аов равен 43°. внутри этого угла проведен луч ос. найдите угол между биссектрисами углов аос и вос. 8. в окружности с центром о проведены три радиуса: оа, ов, ос, так, что ов перпендикулярен ас и отрезки ов и ас пересекаются. докажите, что ав = вс. 9. дан треугольник авс. на продолжении сторон ав и вс за вершину в отмечены точки d и e соответственно; ∠dве = 60°, 3∠а = ∠с. найдите угол, смежный с углом а. 10. расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно 18 см. найдите радиусы окружностей, если один из них в 4 раза меньше другого. 11. боковая сторона равнобедренного треугольника в 2 раза больше основания и на 12 см меньше периметра треугольника. найдите стороны треугольника. 13. в равнобедренном треугольнике авс вd – высота, проведенная к основанию. точки м и н принадлежат сторонам ав и вс соответственно. луч dв – биссектриса угла мdн. докажите, что ам = нс. 14. на сторонах ав, вс, ас треугольника авс взяты точки — м, р, к соответственно так, что лучи км и кр являются биссектрисами углов акв и вкс. докажите, что ∠мкр = 90о. 15. в треугольнике авс ∠а = 50о, ∠с = 80о. докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника при вершине с лежит на прямой, параллельной прямой ав. 16. основание ас равнобедренного треугольника авс продолжено за вершины а и с. на продолжениях соответственно отложены равные отрезки аd и се. докажите, что вd = ев. 17. в треугольнике авс ∠b = 100o, ∠а = 40о. точка d принадлежит стороне ас. причем угол bdc – тупой. докажите, что ав > bd. 18. отрезки ае, ек, кв последовательно отложены на одной прямой, а точки с и d лежат по разные стороны от этой прямой, ае = вк, ас = bd, ск = dе. докажите что треугольники аск и веd равны. 19. даны треугольники авс и а1в1с1 с высотами сd и c1d1 соответственно, ∠b = ∠b1 = 45o, cd = c1d1, ав = а1в1. докажите, что треугольники авс и а1в1с1 равны.
Впишем квадрат в решетку.
(Красные треугольники равны по двум катетам => синие гипотенузы равны, углы A, B, C, D прямые.)
Треугольники KCM и DCM равны по катету и гипотенузе.
По условию в треугольнике AKD медиана равна половине стороны - угол AKD прямой.
=> Точка K находится в узле решетки.
Теперь видно, что треугольники KBD и KAD имеют равные высоты и основания - и равные площади.
Медианы KO и KM делят их пополам.
Треугольники AMK и ABK также имеют равные высоты и основания - и равные площади.
Таким образом площадь KOD равна 1/5 площади ABD и 1/10 площади квадрата.
Объяснение:
Проведём высоту, он же катет, так как мы будем рассматривать прямоугольный треугольник. Образующая является гипотенузой. С радиусом гипотенуза обращает угол 30°. По свойству мы знаем, что катет лежащий против угла 30° равна половине гипотенузы. Высота(катет) лежит против угла 30°. Отсюда следует, что высота равна 8:2=4см. Найдём радиус(катет) по теореме Пифагора. Н-высота, Д-диаметр, R-радиус, Л-образующая.
R^2=Л^2-Н^2
R^2=8^2-4^2=48
R=√48=4√3
Д=R+R; Д=4√3+4√3=8√3
Площадь осевого сечения(формула):
S(сеч)=1/2*Д*Н
Подставляем:
S(сеч)=8√3*4/2=16√3.
Площадь полной поверхности(формула):
S(ппк)=π*R*Л+π*R^2
Подставляем:
S(ппк)=3,14*4√3*8+3,14*(4√3)^2=примерно 325.
Объём конуса:
V=1/3*π*R^2*H
Подставляем:
V=1/3*3,14*(4√3)^2*4=200,96 или 201.