Центрі О нүктесінде болатын шеңбердің LM хордасы радиусқа тең. Осы хордаға перпендикуляр болатын ЕК диаметрі жүргізілген. ЕК диаметрі мен LM хордасы Авс нүктесінде қиылысады. L. A кесіндісінің ұзындығы 12,4 см.
а) есептің шарты бойынша суретін салыңыз;
b) LM хордасының ұзындығын табыңыз;
c) ЕК диаметрінің ұзындығын табыңыз;
d) OLM үшбұрышының периметрін табыңыз.
Рассмотрим красный прямоугольный треугольник на рисунке
Половина этой стороны - катет, длина его 4π см
второй катет - радиус вписанной окружности r, лежит против угла в 30 градусов и его длина в 2 раза короче гипотенузы
Гипотенуза является радиусом описанной окружности R
По Пифагору
(4π)² + r² = (2r)²
16π² = 3r²
r² = 16/3*π²
r = 4π/√3 см
R = 2r = 8π/√3 см
угол при вершине сегмента β=120°
Площадь сектора S₁ (синяя штриховка на рисунке)
S₁ = πR²*β/360° = π*(8π/√3)²*120°/360° = π*64π²/3*(1/3) = 64/9*π³ ≈ 220,4893 см²
Площадь сегмента S₂ (малиновая штриховка на рисунке)
S₁ = πR²*β/360°-1/2*R²*sin(β) = π(8π/√3)² *120°/360°-(8π/√3)²/2*√3/2 = 64π²/3*(π/3 - √3/4) ≈ 129,3177 см²
Ромб с острым углом 60 градусов имеет меньшую диагональ, равную стороне. Половина такого ромба - равносторонний треугольник.
Опустим из точек В и Д перпендикуляры на боковое ребро.
Они пересекутся в точке К.
Треугольник ВКД - равнобедренный. В основании - диагональ ВД = 1.
КВ = КД = 1*cos 30° = √3/2.
Искомый угол ВКД равен :
∠BKD = 2arcsin((1/2)/(√3/2) = 2arcsin( 1/√3) = 2arcsin(√3/3) = 70,52878°.
Тангенс половины угла BKD = α равен:
tg(α/2) = (1/2)/(√((√3/2)² - (1/2)²) = (1/2)/√(2/4) = √2/2.
Тангенс искомого угла равен:
tgα = 2*tg(α/2)/(1 - tg²(α/2)) = 2*(√2/2)/(1 - (2/4)) = 2√2.
Его квадрат равен 8.