Центр о окружности, описанной около выпуклого четырехугольника abcd , является серединой стороны ad , а его углы b и c соответственно равны 103 и 137 .Найдите ad, если bc=7.

Вариант решения. 

По условию МС=2DМ⇒

DC=DM+2 DM=3 ДМ

Так как АВ=3 CD, то АВ=3•3DM=9DM

Пусть КН - высота трапеции АВСD и равна h. 

Тогда площадь трапеции равна 0,5•(CD+AB)•h=6 DM•h

 ∆ MNC~∆ ANB - по равенству всех углов ( углы при N равны как вертикальные, а при основаниях - как накрестлежащие при параллельных прямых и секущих)

МС:АВ=2DM:9DM=2/9

Отношение сходственных элементов подобных треугольников одинаково.⇒ 

 КN:NH=2:9 

h=KN+NH=2+9=11 (частей)

KN=2h/11

Тогда S ∆ MNC=0,5•MC•2h/11=2DM•h/11

Отсюда S ∆ MNC:S ABCD=(2DM•h/11):6 DM•h=1/33

Обозначаем  S(CNM) = S , MD = m .
  ⇒ MC = 2*MD =2m  и  CD =MD + MC =m +2m =3m ,  AB =3*CD =3*3m=9m.
Очевидно:   ΔANB  ~ ΔCNM  , причем  коэффициент подобия  
k =AB/ CM =9m/2m =9/2
ΔANB  ~ ΔCNM ⇒ h₁/ h =k ⇒  h₁=k*h = 9h/2. 
Высота трапеции  ABCD равна :  H = h+h₁=h +9h/2 =11h/2 .
S(CNM) =CM*h/2 =2m*h/2 =m*h ;
S(ABCD) =(AB +CD)/2 *H =(9m+3m)/2 * 11h/2 = 33m*h ;
S(CNM)  /  S(ABCD) =m*h /33m*h =1 : 33 .

* * * * * * * другой
Обозначаем  S(CNM) = S , MD = m .
  ⇒ MC = 2*MD =2m  и  CD =MD + MC =m +2m =3m ,  AB =3*CD =3*3m=9m.
Очевидно:   ΔANB  ~ ΔCNM  , причем  коэффициент подобия  
k =AN/CN = AB/ CM =9m/2m =9/2 .
Следовательно     S(ANB) / S(CNM) = k²  ⇒  S(ANB) =  (81/4)*S .
S(ANM) / S(CNM) = AN / CN = 9/2 ⇒ S(AMN) =  (9/2) *S .
S(BNC) = S(BCM) -  S(CNM)  = S(AMC) -S(CNM) =S(ANM)  = (9/2) *S .
* * * т.е .   треугольники BNC и  ANM равновеликие  * * *
S(AMC) = S(AMN) + S(CNM) = (9/2) *S +S =(11/2)*S .
S(ADM) / S(AMC) =MD / MC =1/2 ⇒ S(ADM) =(1/2)*(11/2) =(11/4)*S.
S(ABCD) =S(ADM) + S(AMCB)= S(ADM)+S(CNM) + S(ANB) +2*S(ANM) =
(11/4)*S + S +(81/4)*S+ 9*S =(92/4)*S+10*S  = 33*S.

S / S(ABCD) = 1 : 33. 

P.S.  можно было использовать
S(ANM) *S(BCN) =S(CNM) * S(ANB) ⇔ S²(ANM)= 81S/4 *S;
 S²(ANM) =9S/2  и   т. д .