Часть А.
l. B трапеции ABCD DM = 12, MB = 6, АB = 8. Найдите CD.
1) 4; 2) 10; 3) 24; 4) 16.
2. Внутренний угол треугольника равен 135°, а один из внешних его углов – 170°. Найдите острый угол треугольника, не смежный с данным внешним.
1) 10°; 2) 35°; 3) 45°; 4) 65°.
3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите АС, если ВК = 6.
1) 12; 2) 4;
3) 3; 4) 6.
4. В треугольнике МРТ РТ = 12, МТ = 8, sin ÐM = .
Найдите угол Р.
1) 150°; 2) 120°; 3) 60°; 4) 30°.
5. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь треугольника АВС, если СН = 13 м.
1) 126 м2; 2) 78 м2;
3) 63 м2; 4) 60 м2.
6. Окружность с центром Р и прямая КТ касаются в точке К. Найдите РТ, если ТК = 12, а диаметр окружности – 10.
1) 12; 2) 5; 3) 13; 4) 7.
7. Точка О – центр окружности радиусом 5. Найдите ВС.
1) 5; 2) 5; 3) 10; 4) 7,5.
8. В четырехугольнике ABCD ÐCBD = 35°, ÐBAC = 45°. Найдите угол BAD.
1) 80°; 2) 100°; 3) 135°; 4) 90°.
9. Сторона квадрата равна 6 м. Найдите площадь вписанного в него круга.
1) 36p м2; 2) 12p м2; 3) 9p м2; 4) 18p м2.
10. Какая из следующих фигур имеет центр симметрии?
1) равнобокая 2) правильный 3) правильный 4) паралле-
трапеция треугольник пятиугольник лограмм
11. Точки М и К – середины сторон правильного треугольника ABC. Укажите вектор, равный вектору :
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
12. КСТР – ромб. Найдите сумму векторов
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Часть В.
1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 9. Найдите периметр треугольника.
2. Отрезок ВК – биссектриса треугольника ABC, AB = BM, ÐAKB = 50". Найдите угол СКМ.
3. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О, ÐСDО = 60°, АС = 10. Найдите периметр треугольника ОСD.
4. Основания равнобокой трапеции равны 14 м и 8 м, а один из углов равен 45°. Найдите площадь трапеции.
5. В параллелограмме ABCD BD = 17 м. Найдите плошадь параллелограмма, если СН = 2 м и ВН = 15 м.
Часть С.
1. Стороны параллелограмма равны 7 и 6. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найдите длину большей из этих частей.
2. В треугольнике ABC АВ = ВС = 10, АС = 8. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны АВ в точке М. Найдите ВМ.
3. Отрезок АО – биссектриса треугольника АВС. АС = 16, ВС = 20. Найдите ОС, если ÐВАС = 2ÐАВ
1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.
ответ: α = arctg√3 = 60°
2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.
3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.
ответ: искомый угол равен 45°.
Рассмотрим треугольник ВСД:
угол ВДС=90 градусов (так как СД – высота)
Угол ДСБ=41 градус (по условию)
Угол В=180-(ВДС+ДСБ)=180-(90+41)=49 градусов
Теперь рассмотрим треугольник АВС:
Угол С=90 градусов (по условию),
угол В=49 градусов
Угол А =180-(С+В)=180-(90+49)=41 градус
Рассмотрим треугольник АСД
Угол А=41 градус, угол АДС=90 градусов (так как СД – высота)
Угол АСД=180-(АДС+А)=180-(90+41)=49 градусов
(второй метод нахождения угла АСД=90-ДВС=90-41=49 градусов)