Частный пляж планируют оградить так, как изображено на рисунке (от речки ограждение не ставится). Для этого завезено 1000 м ограждения. Какую наибольшую площадь (в гектарах) может иметь огражденный таким образом пляж?
Территория пляжа представляет собой прямоугольник. Обозначим его длинную сторону через x, а короткую - через y, тогда длина ограждения l=x+2*y м. Площадь пляжа S=x*y м², и так как по условию x+2*y=1000, то отсюда x=1000-2*y и S(y)=y*(1000-2*y)=1000*y-2*y² м². Таким образом, задача сводится к нахождению максимума функции S(y). Находим её производную: S'(y)=1000-4*y. Приравнивая её к нулю, получаем уравнение 1000-4*y=0, откуда y=250 м и тогда x=1000-2*y=500 м. Проверка: если y<250, то S'(y)>0; если y>250, то S'(y)<0. Таким образом, при переходе через значение y=250 S'(y) меняет знак с + на -, а это значит, что y=250 является точкой, в которой функция S(y) принимает наибольшее значение. Тогда S=x*y=500*250=125000 м²=125000/10000=12,5 га.
ответ: 12,5 га.
Объяснение:
Территория пляжа представляет собой прямоугольник. Обозначим его длинную сторону через x, а короткую - через y, тогда длина ограждения l=x+2*y м. Площадь пляжа S=x*y м², и так как по условию x+2*y=1000, то отсюда x=1000-2*y и S(y)=y*(1000-2*y)=1000*y-2*y² м². Таким образом, задача сводится к нахождению максимума функции S(y). Находим её производную: S'(y)=1000-4*y. Приравнивая её к нулю, получаем уравнение 1000-4*y=0, откуда y=250 м и тогда x=1000-2*y=500 м. Проверка: если y<250, то S'(y)>0; если y>250, то S'(y)<0. Таким образом, при переходе через значение y=250 S'(y) меняет знак с + на -, а это значит, что y=250 является точкой, в которой функция S(y) принимает наибольшее значение. Тогда S=x*y=500*250=125000 м²=125000/10000=12,5 га.