Чему равен вписанный угол, который опирается на дугу,
градусная мера которой равна 187°

А - меньший катет ( а = 15 )
b - большой катет
с - гипотенуза
а1 - проэкция меньшего катета на гипотенузу
b1 - проэкция большего катета на гипотенузу ( b1 = 16 )
a1 = a^2 / c = 15^2 / c = 225 / c
a1 + b1 = c . подставим ( а1 = 225 / с ) и ( b1 = 16 )
225 / c + 16 = c
225 + 16*c = c*c
c^2 - 16c - 225 = 0
D = 16*16 - 4*(-225) = 1156
Корень квадратный D = 34
c = ( 16 + 34 ) / 2 = 25
b = кор. кв. ( с^2 - a^2 ) = кор. кв. ( 625 - 225 ) = 20 см
Радиус описанной окружности R = c / 2 = 25 / 2 = 12,5 см
Радиус вписанной окружности r = ( a + b - c ) / 2 = ( 15+20 - 25 ) / 2 = 5 см

1) Из прямоугольного треугольника АС₁С, острый угол 45°, значит треугольник прямоугольный равнобедренный:
АС=СС₁=9√2/2=4,5√2
H=CC₁=4,5√2
Треугольник АВС - равнобедренный, прямоугольный.
АВ=ВС=4,5
V=S(осн)·H=1/2 AB·BC·H=729√2/8 куб. ед

2) В основании ромб ( см. рис.) Р=4a  ⇒   4a=40   ⇒    a=10
 Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения  делятся пополам.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АОD
По теореме Пифагора  АО²= AD²-DO²=10²-6²=100-36=64=8²
Значит,  АС= 16 см  - это бОльшая диагональ, а BD=12 см - мЕньшая
Из треугольника АСС₁  по  теореме Пифагора:
СС₁²=АС₁²-АС²=20²-16²=(20-16)(20+16)=4·36=144=12²
CC₁=12
V=S(осн)·H= (1/2) AC·BD·CC₁=(1/2)·12·16·12=1152  куб. см

3) Пирамида правильная, в основании равносторонний треугольник.
     Проекция вершины D - точка О (центр вписанной окружности)
     Из прямоугольного треугольника  ADO:
     Против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы
     АО=3 см    АО=R=3 cм
     ВО²=АВ²-АО²=6²-3²=27
     ВО=3√3 см
      H=BO=3√3 cм

   Площадь равностороннего треугольника равна
  


  куб. см