Многоугольником называется фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой,проходящей через две его соседние вершины. Внутренним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине. Теорема: Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна (n-2)*180°, где n - число сторон многоугольника. Доказательство: Внутри n-угольника возьмем произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами. Многоугольник разобьется на n треугольников с общей вершиной О. Сумма внутренних углов каждого треугольника равна 180°, следовательно, сумма углов всех треугольников равна n*180°. В эту сумму, помимо суммы всех внутренних углов многоугольника, входит сумма углов треугольников при вершине О, равная 360° Таким образом, сумма всех внутренних углов многоугольника равна n*180° - 360° = (n-2)*180°, что и требовалось доказать.
Сектор - часть круга. Длина дуги сектора вычисляется по формуле: L=π*r*n/180°. В нашем случае n=90°, L=π*r/2. Заметим, что в этой формуле r = l - образующая конуса, а L - это длина окружности нашего конуса. Радиус окружности основания конуса находим поформуле: L=2π*R или в нашем случае π*r/2=2π*R, отсюда R=π*r/(2*2π)=r/4. Теперь рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами - образующей конуса и основанием - диаметром окружности основания конуса. Причем высота конуса SH - это и биссектриса и медиана этого треугольника. В прямоугольном треугольнике SHC синус угла HSC равен отношению противолежащего катета (R) к гипотенузе (l=r) или Sin(<HSC)=(r/4)/r=1/4. Заметим, что <HSC - это половина искомого угла при вершине конуса (так как SH - биссектриса). По формуле Sinα=2Sin(α/2)*Cos(α/2) найдем искомый угол α. Cosα=√(1-sin²α)=√(1-1/16)=√15/4. Sinα=2*(1/4)*(√15/4)=√15/8. ответ: угол при вершине конуса равен arcsin(√15/8). α≈29°
Можно найти угол при вершине по теореме косинусов: Cosα=(a²+b²-c²)/2ab, где угол α - угол между сторонами a и b. В нашем случае a=b=r, c=2R=r/2. Тогда Cosα=(2r²-r²/4)/2r²=7r²/8r²=0,875. α=arccos0,875 или α≈29°.
Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой,проходящей через две его соседние вершины.
Внутренним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Теорема: Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна (n-2)*180°, где n - число сторон многоугольника.
Доказательство: Внутри n-угольника возьмем произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами. Многоугольник разобьется на n треугольников с общей вершиной О.
Сумма внутренних углов каждого треугольника равна 180°, следовательно, сумма углов всех треугольников равна n*180°.
В эту сумму, помимо суммы всех внутренних углов многоугольника, входит сумма углов треугольников при вершине О, равная 360°
Таким образом, сумма всех внутренних углов многоугольника равна
n*180° - 360° = (n-2)*180°, что и требовалось доказать.
L=π*r*n/180°.
В нашем случае n=90°, L=π*r/2. Заметим, что в этой формуле
r = l - образующая конуса, а L - это длина окружности нашего конуса. Радиус окружности основания конуса находим поформуле: L=2π*R или в нашем случае π*r/2=2π*R, отсюда R=π*r/(2*2π)=r/4.
Теперь рассмотрим осевое сечение конуса.
Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами - образующей конуса и основанием - диаметром окружности основания конуса.
Причем высота конуса SH - это и биссектриса и медиана этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике SHC синус угла HSC равен отношению
противолежащего катета (R) к гипотенузе (l=r) или Sin(<HSC)=(r/4)/r=1/4.
Заметим, что <HSC - это половина искомого угла при вершине конуса (так как SH - биссектриса).
По формуле Sinα=2Sin(α/2)*Cos(α/2) найдем искомый угол α.
Cosα=√(1-sin²α)=√(1-1/16)=√15/4.
Sinα=2*(1/4)*(√15/4)=√15/8.
ответ: угол при вершине конуса равен arcsin(√15/8).
α≈29°
Можно найти угол при вершине по теореме косинусов:
Cosα=(a²+b²-c²)/2ab, где угол α - угол между сторонами a и b.
В нашем случае a=b=r, c=2R=r/2.
Тогда Cosα=(2r²-r²/4)/2r²=7r²/8r²=0,875. α=arccos0,875 или α≈29°.