Через одну образующую цилиндра проведены два сечения угол между плоскостями которых равен 120 градусов, а площадь каждого из полученных сечений равна 48 см в кв. Найдите объём цилиндра если его высота равна 8 см. ( )
1) найдем центр основания пирамиды - точка пересечения медиан - т.О проведем прямую МК параллельно АС, МР и КТ параллельно ВД точки М, Р,Т,К лежат соответственно на ребрах пирамиды АВ, АД, СД,СВ четырехугольник - прямоугольник, т.к.МР=ТК и МР||ТК и МР и ТК перпендикулярны плоскости АВС а значит и прямой МК МК=2/3*а, т.к. треугольник АВС подобен треугольнику ВМК (прямая МК||АС отсекает треугольник подобный данному)и коэф подобия равен 2/3 (медианы пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины) ВМ/ВА=ВК/ВС=2/3 треугольник ВДА подобен треуг МРА (ВД||МР) АМ/АВ=1/3 МР=1/3*а S(сечения)=2/3а*1/3а=2/9*а²
2)1)угол между плоскостями равен 60 градусов, т.к. угол АВС - линейный угол между плоскостями ВДА и ВДС 2)проведем ВН перпенд АС BH=√3/2*a ДН перпендикулярна АС по теор о 3х перпендикулярах (ВД - перпендикуляр, ДН - наклонная, ВН - проекция наклонной) угол ДНВ - линейный угол между плоскостями АВС и АСД в прямоугольном треугольнике ВДН tgDHB=DB/BH=a/(√3a/2)=2√3/3 DHB=arctg2√3/3
3)угол между прямой ВД и плоскостью ДАС - угол ВДН tgВДН=√3а/2а=√3/2 ВДН=arctg√3/2
проведем прямую МК параллельно АС, МР и КТ параллельно ВД
точки М, Р,Т,К лежат соответственно на ребрах пирамиды АВ, АД, СД,СВ
четырехугольник - прямоугольник, т.к.МР=ТК и МР||ТК и МР и ТК перпендикулярны плоскости АВС а значит и прямой МК
МК=2/3*а, т.к. треугольник АВС подобен треугольнику ВМК (прямая МК||АС отсекает треугольник подобный данному)и коэф подобия равен 2/3 (медианы пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины)
ВМ/ВА=ВК/ВС=2/3
треугольник ВДА подобен треуг МРА (ВД||МР)
АМ/АВ=1/3
МР=1/3*а
S(сечения)=2/3а*1/3а=2/9*а²
2)1)угол между плоскостями равен 60 градусов, т.к. угол АВС - линейный угол между плоскостями ВДА и ВДС
2)проведем ВН перпенд АС BH=√3/2*a
ДН перпендикулярна АС по теор о 3х перпендикулярах (ВД - перпендикуляр, ДН - наклонная, ВН - проекция наклонной)
угол ДНВ - линейный угол между плоскостями АВС и АСД
в прямоугольном треугольнике ВДН
tgDHB=DB/BH=a/(√3a/2)=2√3/3
DHB=arctg2√3/3
3)угол между прямой ВД и плоскостью ДАС - угол ВДН
tgВДН=√3а/2а=√3/2
ВДН=arctg√3/2
1)а+2б
а((2;4;3)
2б(-4;0;8) координаты вектора б умножили на 2
а+2б=(-2;4;11) Складываем соответствующие координаты
2)а-с=а+(-с)
а(2;4;3)
-с(0;-5;3) умножили координаты вектора с на (-1)
а-с=(2;-1;6)
3)б-2а=б+(-2б)
б(-2;0;4)
-2а(-4;-8;-6)
б-2а=(-6;-8;-2)
4)а·б перемножим соответствующие координаты векторов а и б:
а(2;4;3)
б(-2;0;4)
а·б=(-4;0;12)
5)б·с перемножим соответствующие координаты векторов б и с:
б(-2;0;4)
с(0;5;-3)
б·с=(0;0;-12)
6) cos(ab) a(2;4;3) б(-2;0;4)
cos(ab)=(a·b)\IaI·IbI
(a·b)-скалярное произведение векторов
(a·b)=2·(-2)+4·0+3·4=-4+12=8
IaI=√(2²+4²+3²=√(4+16+6)=√26
IbI=√((-2)²+4²+0²)=√(4+16)=√20
cos(ab)=8\(√26·√20)=8\√(4·130)=8\2√130=4\√130=4√130\130