Через сторону ac треугольника abc проведена плоскость альфа, отстоящая от вершины b на расстояние, равное a√3 (числитель) / 2 (знаменатель) ; угол acb = 135 ; bc = a√2. найдите угол между плоскостями abc и альфа

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ =8 и АС = 64.

Точка О центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD  перпендикулярная прямой АО , пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.

–––––––––––––––––

Продлим ВD до пересечения с окружностью в точке М. 

Хорда МВ перпендикулярна радиусу ОА ( по условию)  и при пересечении с ним делится пополам ( свойство). 

Тогда  радиус ОА делит угол ВОМ пополам. Дуги АМ и АВ, на которые опираются равные центральные углы МОА и ВОА, также равны. 

Отсюда следует равенство углов АВМ и ВСА - опираются на равные дуги. 

В треугольниках АВС и АВD угол ВАС общий, ∠АВD=∠ВСА ⇒

 ∆ АВС ~  ∆ АВD по 1-му признаку подобия. Из подобия следует отношение:

АВ:АС=АD:АВ

АВ²=АD•AC

64=AD•64⇒  AD=1

CD=64-1=63 (ед. длины)

∠TAB=60° : 2=30° (AT - биссектриса)
∠B=180° - ∠A=180° - 60°=120° (∠A и ∠B - внутренние односторонние
                                                    углы при параллельных прямых).
∠BTA=180°-(∠TAB+∠B)=180°-(30°+120°)=30° (сумма углов Δ)
ΔABT - равнобедренный.
АB=BT=6 cм

BC=BT+TC=6 +2=8 см
BC=AD=8 см (противоположные стороны)

BD²=AB²+AD²-2AB*ADcos60°=
      =6²+8² -2*6*8*(1/2)=36+64-48=52
BD=√52=2√13 (см) 

AC²=AB²+BC²-2AB*BCcos120°=
      =6²+8²-2*6*8*cos(90°+30°)=
      =36+64-96*(-sin30°)=100-96*(-1/2)=100+48=148
AC=√148=2√37 (см)

ответ: 2√13 см  и  2√37  см.