Через точку С окружности с центром О провели касательную - вопрос №11929272 от kauymbek 13.05.2022 22:22

Question

Геометрия: Через точку С окружности с центром О провели касательную к этой окружности, АВ - диаметр окружности. Из точки А на касательную провели перпендикуляр АМ. Докажите, что АС является биссектрисой угла ВАМ. Подсказка: соединить точки О и С, вспомнить свойство радиуса и касательной, в учебнике все есть.

kauymbek · Answer

Воспользуемся следующими соотношениями в прямоугольных треугольниках:

Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

ΔМАО=ΔМВО по катету (МА=МВ) и гипотенузе (МО- общая сторона)

ΔМАК=ΔМВК (МК-общий катет, МА=МВ - гипотенузы)

Из ΔМАО находим МА:

$ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{MA}{r}\\\\MA=r\cdot ctg\frac{\alpha}{2}$

Из ΔМАК находим АК:

$sin\frac{\alpha}{2}=\frac{AK}{MA}\\\\AK=MA\cdot sin\frac{\alpha}{2}=r\cdot ctg\frac{\alpha}{2}\cdot sin\frac{\alpha}{2}=r\cdot cos\frac{\alpha}{2}\\\\AB=2AK=2r\cdot cos\frac{\alpha}{2}$

Если же такой ответ не годится и нужно выразить именно через α, то по формуле половинного аргумента получим:

$AB=2r\cdot\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}$

Ну и как "Лучшее решение" не забудь отметить, ОК?!.. ;)))