Через вершины a и c треугольника abc проходит окружность, пересекающая сторону ab в точке d и касающаяся стороны bc. найдите ad, если ac=8,bc=4,dc=8/√3

1. Рассматриваем прямоугольный треугольник образованный большей боковой стороной трапеции, высотой опущенной на основание в и частью основания в отсеченной высотой. Часть основания равна 7-4=3 см. Угол В =30° т.к. С=60°.
Напротив угла в 30° лежит катет (3 см) равный половине гипотенузы (большая боковая сторона трапеции). ВС=3*2=6 см.
2. Угол при основании 45°. Значит угол при вершине прямоугольного треугольника тоже равен 45° и он равнобедренный. Высота равна длине отсеченной от основания в и равна 15-10=5 см.

Задача на подобие треугольников. 
Сделаем рисунок по условию задачи и рассмотрим его. 
В треугольниках ВDЕ и АВС
∠ВЕD=∠ВСА как соответственные при параллельных прямых ВЕ и АС и секущей ВС. 
∠ВDЕ=∠ВАС как соответственные углы при параллельных прямых DЕ и АС и секущей ВА. 
∠В общий. ⇒ эти треугольники подобны.
АВ:ВD=АС:DЕ и ВС:ВЕ=АС:DЕ
Пусть ВD=х, а ВЕ=у. 
Тогда АВ:ВD=(х+7,2):х=16:10, откуда х=12 ( уравнение простое, решить его самостоятельно несложно)
Точно так же 
(у+7,8):у=16:10, откуда у=13. 
Следовательно, ВD=12, DЕ=13 ( ед. длины)