Через вершины равностороннего треугольника ABC проведены прямые параллельные его противоположным сторонам. Докажите, что эти прямые
пересекаются и точки пересечения являются вершинами равностороннего
треугольника.

люди , и желательно с чертежем,

Показать ответ

Ответ:

dikushant

18.03.2022 18:22

Шар вписан в конус. найти наименьший объём конуса, если радиус шара равен 1.

Решение.

1) Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел : равнобедренный ΔАВС , высота ВН , точка О-центр вписанной окружности. К-точка касания окружности со стороной АВ. По условию ОН=ОК=1 ед.

Пусть ВН=h , AH=R. Vкон=1/3*Sосн*h , Sосн=π*R²

Выразим объём через высоту конуса.

Отрезок ВО=ВН-ОН=h-1

По т. Пифагора , ΔABH , АВ²=АН²+ВН²=R²+h² .

2) ΔКВО~ ΔHBA по двум углам(∠В-общий,∠ВКО=АНВ=90° тк радиус перпендикулярен касательной , проведенной в точку касания).

Значит КО:АН=ВО:АВ или 1:R=(h-1): √(R²+h²) ⇒ R²= $\displaystyle \frac{h^{2} }{(h-1)^{2} -1 }$ .

3) V(h)= $\displaystyle \frac{1}{3} *\pi *\frac{h^{2} }{(h-1)^{2}-1 }*h$ = $\displaystyle \frac{\pi }{3} *\frac{h^{3} }{h^{2}-2h }$ = $\displaystyle \frac{ \pi *h^{3} }{3h^{2}-6h }$ .

V' = $\displaystyle \frac{3 \pi h^{2}*( 3h^{2}-6h)-\pi h^{3}*(2h-2) }{(3h^{2}-6h)^{2} }=\\$

= $\displaystyle \frac{3 \pi h^{3}*(h-4) }{(3h^{2}-6h)^{2} }$ , V'=0, при h=4 .

V' _ _ _ _(4) + + + +

V ↓ ↑ , значит h=4 точка минимума. Наименьший объём достигается в точке минимума .

V = $\displaystyle \frac{ \pi *4^{3} }{3*4^{2}-6*4 }$ ⇒ V= $\displaystyle \frac{8\pi }{3}$ ед³ .

Шар вписан в конус. найти наименьший объём конуса, если радиус шара равен 1

0,0(0 оценок)

Ответ:

SAHARIA

08.12.2021 09:54

$\boxed{S_{ABC} = 3920}$ сантиметров квадратных

Объяснение:

Дано: ∠ACB = 90°, ∠ACE = ∠BCE, FE ⊥ CE, AF : FC = 3 : 4, BC = 56 см

Найти: $S_{ABC}$ - ?

Решение: Введем коэффициент пропорциональности x, тогда AF = 3x,

FC = 4x. Так как по условию ∠ACE = ∠BCE и ∠ACE + ∠BCE = ∠ACB, то

∠ACE = ∠BCE = ∠ACB : 2 = 90° : 2 = 45°. Рассмотрим прямоугольный (FE ⊥ CE по условию) треугольник ΔFEC. По теореме про сумму углов треугольника: ∠CEF + ∠FCE + ∠CFE = 180° ⇒ ∠CFE = 180° - ∠CEF - ∠FCE = 180° - 90° - 45°. Так как ∠CFE = ∠FCE = 45°, то по теореме треугольник ΔFEC - равнобедренный, следовательно FE = EC. Пусть CE = y, тогда

FE = y. По теореме Пифагора: $FC^{2} = FE^{2} + CE^{2}$ .

$(4x)^{2} = y^{2} + y^{2} \\16x^{2} = 2y^{2}|:2\\8x^{2} = y^{2}\\y = x\sqrt{8}$

Проведем высоту к стороне FC из точки E в точку H. Рассмотрим прямоугольный (HE ⊥ FC по построению) треугольник ΔHEC.

$\sin \angle HCE = \frac{HE}{EC} \Longrightarrow HE = EC * \sin \angle HCE = EC * \sin 45^{\circ} = \frac{x\sqrt{8} \sqrt{2} }{2} = \frac{x\sqrt{16} }{2} = \frac{4x}{2} = 2x .$

Так как треугольник ΔFEC - равнобедренный, то по свойствам равнобедренного треугольника высота проведенная к основанию является биссектрисой и медианой, тогда FH = HC = FC : 2 = 4x : 2 = 2x.

AC = AF + FC = 3x + 4x = 7x. AH = AF + FH = 3x + 2x = 5x.

Треугольник ΔAHE подобен треугольнику ΔACB по двум углам так как угол ∠CAB - общий, а ∠AHE = ACB = 90°, тогда по свойству подобных треугольников: $\frac{AC}{AH} = \frac{BC}{HE} \Longrightarrow AC * HE = AH * BC$ .