Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин A(-1; 0), B(2; 3),C(3; 0), D(-1; -1). Найдите косинус острого угла между диагоналями AC и BD.

Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин  A(-1; 0), B(2; 3),C(3; 0), D(-1; -1). Найдите косинус острого угла между диагоналями AC и BD.

ответ:  3/5    =0,6      

Объяснение:  α = AC^BD

AC ={3 -(-1)  ; 0 -0}    AC ={ 4  ; 0}    ;    |AC| =4  

BD ={-1 -2  ; -1  -3}     BD ={ -3  ; -4}  ;  |BD| =√( (-3)²+(-4)²) =√(9 +16 ) =5

AC*BD =|AC|*|BD|cos(AC^BD) =4*5*cosα   (по определению скалярного произведения двух векторов)

AC*BD =4*(-3) +0*(-4) = - 12   (по теорему скалярного произведения двух векторов; сумма произведения соответствующих координат).

4*5*cosα = - 12   ⇔cosα = -3/ 5  < 0  (α -тупой угол)

Острый  угол  между диагоналями AC и BD  будет  смежный угол :           β =180° - α     ⇒ cosβ =cos(180° -α) = -cosα = 3/5 .

* * *  ИЛИ   | cosβ| =  | (x₁*x₂+y₁*y₂) / √(x₁²+y₁²) *√(x₂²+y₂²) * * *