Четырёхугольник ABCD задан координатами своих вершин A (2; 5), B (–3; 7), C (6;2), D (–1; –1). Выполните построения и укажите координаты вершин четырёхугольника A1B1C1D1, полученного путём параллельного переноса на вектор {3,-2} из четырёхугольника ABCD.
ответ: А1 ( ; ), В1 ( ; ), С1 ( ; ), D1 ( ; ).

Объяснение:

  1)Обозначим данный прямоугольник АВСD. Отрезок ВК⊥АС. АК:КС=3:1. О - точка пересечения диагоналей. (см. рисунок приложения),

  Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. . АС=ВD=8, ВО=ОС=АО=ОD=4.

 Диагональ АС содержит 3+1=4 части, тогда СК=1 часть=8:4=2 см,⇒ КО=4-2=2 см. ВК - высота треугольника ВОС (перпендикулярна отрезку СО)  и делит его пополам. Следовательно, является его медианой, поэтому ∆ ВСО равнобедренный.  ВС=ВО. Но ВО=СО ⇒ ∆ СВО - правильный,  В ∆ ВОМ угол ОВМ=∠СВМ-СВО=90°-60°=30° Катет ОМ противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы ВО. ⇒ ОМ=АЕ=2 см.  

———————

2) Расстояние от точки до прямой равно длине проведенного к ней перпендикуляра. В прямоугольнике АВСD это отрезок ОМ.

Угол ВOD - развернутый и равен 180°. Сумма смежных углов ВОА и АОD  равна 1+2=3 части. ⇒ угол ВОА=1 часть=180°:3=60°.  По свойству диагоналей прямоугольника ВО=АО, поэтому углы при основании АВ равнобедренного ∆ ВОА равны (180°-60*):2=60°, из чего следует: в  прямоугольном ∆ ВОМ угол ОВМ=угол АВМ-угол АВО=90°-60°=30°.  Гипотенуза ВО в два раза больше катета, противолежащего углу 30° ⇒ ВО=10 см. ВО = половина диагонали. Диагональ ВD=2•10=20 см.

Отрезок АД - пересекает;

отрезок АЕ - не пересекает.

Объяснение:

Дано:

m - прямая

АВ, ВС - пересекают m

CD, DE - пересекают m

------------------------------------

Определить:

АD, AE - пересекают ли m ?

По условию отрезок АВ пересе

кает заданную прямую m, следовательно, точки А и В рас

положены относительно прямой

m в разных полуплоскостях. От

резок ВС также пересексет пря

мую m, то есть точки В и С нахо

дятся в разных полуплоскостях,

а точки А и С - в одной полуплос

кости. Аналогично, точки С и D

расположены по разные стороны

относительно прямой m, при этом

точки В и D находятся в одной по

луплоскости. Отрезок DЕ пересе

кает прямую m: точки А,С,Е распо

ложены в нижней полуплоскости.

Теперь нужно разобраться пере

секает ли отрезок AD прямую m ?

Из чертежа видно, что точки А и D

находятся в одной полуплоскости.

Вывод: АD пересекает прямую m.

Пересекает ли отрезок АЕ прямую

m ?

По рисунку видно, что точки А и Е

расположены в одной полуплос

кости.

Вывод: отрезок АЕ не пересека

ет прямую m.