1. ABCD - прямоугольник. О - точка пересечения диагоналей прямоугольника. OT - высота треугольника ABO, ∠TOB = 25°. Найдите ∠ODC.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит АО = ОВ = ОС = OD. ΔАОВ равнобедренный. ОТ - его высота, проведенная к основанию, а значит и биссектриса. Тогда ∠АОВ = 2∠ТОВ = 2 · 25° = 50°. ∠COD = ∠АОВ = 50° как вертикальные. ΔCOD равнобедренный, значит углы при основании равны. ∠ODC = ∠OCD = (180° - 50°)/2 = 130°/2 = 65°
2. Найдите диагонали ромба, если известно, что их полусумма равна 8,2 мм и одна из них в 3 раза меньше другой.
Пусть х мм - длина одной диагонали, тогда 3х мм - длина другой. Их сумма равна 8,2 · 2 = 16,4 мм x + 3x = 16,4 4x = 16,4 x = 4,1 3x = 12,3 ответ: 4,1 мм, 12,3 мм
3. А₁А₂А₃А₄ - квадрат со стороной а и диагональю b. О - точка пересечения диагоналей, ОЕ - высота треугольника А₁ОА₄. Как найти периметр треугольника А₁ОЕ?
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам. Тогда А₁О = ОА₄ = b/2. В равнобедренном треугольнике А₁ОА₄ высота ОЕ является медианой, значит А₁Е = а/2. ОЕ║А₁А₂ как перпендикуляры к одной прямой, О - середина А₂А₄, тогда ОЕ - средняя линия треугольника А₁А₂А₄. ОЕ = А₁А₂/2 = а/2 Pa₁oe = А₁О + ОЕ + А₁Е = b/2 + a/2 + a/2 = b/2 + a
4. Найдите неверное утверждение.
1) у прямоугольника диагонали не взаимно перпендикулярны; 2) и у прямоугольника, и у квадрата все стороны равны - не верно, так как у прямоугольника равны только противолежащие стороны. 3) квадрат нельзя назвать ромбом - не верно, так как ромб - это параллелограмм с равными сторонами, а у квадрата все стороны равны и противоположные стороны параллельны. 4) и у прямоугольника, и у квадрата все углы прямые.
Если К лежит на стороне АВ, а Р лежит на стороное СД, то угол АВС=углу КВС (это один и тот же угол)
Также угол ВСД=углу ВСР, т.к. это одни и те же углы.
Биссектрисы и тех и тех углов пересекаются в одной и той же точке, иначе сказать, они (биссектрисы) совпадают. Следовательно М1 наложится на М2. Или М1М2=0
Вариант2:
если К лежит на продолжении отрезка АВ, а точка Р лежит на продолжении отрезка ДС.
угол АВС+угол ВСД=180 градусов угол М1ВС+угол ВСМ1=180-90=90 градусв. Треугольник ВСМ1 прямоугольный! (угол ВМ1С прямой)Так же докажем, что угол ВМ2С прямой.
Следовательно угол М2ВМ1 и угол М2СМ1 тоже прямые. У прямоугольника диагонали равны, значит М1М2=ВС. т.к. это диагональ прямоугольника ВМ2СМ1. ответ: М1М2=ВС=6см (по условию задачи, которое тут не дописанно).
Найдите ∠ODC.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит АО = ОВ = ОС = OD.
ΔАОВ равнобедренный. ОТ - его высота, проведенная к основанию, а значит и биссектриса. Тогда
∠АОВ = 2∠ТОВ = 2 · 25° = 50°.
∠COD = ∠АОВ = 50° как вертикальные.
ΔCOD равнобедренный, значит углы при основании равны.
∠ODC = ∠OCD = (180° - 50°)/2 = 130°/2 = 65°
2. Найдите диагонали ромба, если известно, что их полусумма равна 8,2 мм и одна из них в 3 раза меньше другой.
Пусть х мм - длина одной диагонали, тогда
3х мм - длина другой.
Их сумма равна 8,2 · 2 = 16,4 мм
x + 3x = 16,4
4x = 16,4
x = 4,1
3x = 12,3
ответ: 4,1 мм, 12,3 мм
3. А₁А₂А₃А₄ - квадрат со стороной а и диагональю b. О - точка пересечения диагоналей, ОЕ - высота треугольника А₁ОА₄.
Как найти периметр треугольника А₁ОЕ?
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам.
Тогда А₁О = ОА₄ = b/2.
В равнобедренном треугольнике А₁ОА₄ высота ОЕ является медианой, значит А₁Е = а/2.
ОЕ║А₁А₂ как перпендикуляры к одной прямой, О - середина А₂А₄, тогда
ОЕ - средняя линия треугольника А₁А₂А₄.
ОЕ = А₁А₂/2 = а/2
Pa₁oe = А₁О + ОЕ + А₁Е = b/2 + a/2 + a/2 = b/2 + a
4. Найдите неверное утверждение.
1) у прямоугольника диагонали не взаимно перпендикулярны;
2) и у прямоугольника, и у квадрата все стороны равны - не верно, так как у прямоугольника равны только противолежащие стороны.
3) квадрат нельзя назвать ромбом - не верно, так как ромб - это параллелограмм с равными сторонами, а у квадрата все стороны равны и противоположные стороны параллельны.
4) и у прямоугольника, и у квадрата все углы прямые.
Вариант1:
Если К лежит на стороне АВ, а Р лежит на стороное СД, то угол АВС=углу КВС (это один и тот же угол)
Также угол ВСД=углу ВСР, т.к. это одни и те же углы.
Биссектрисы и тех и тех углов пересекаются в одной и той же точке, иначе сказать, они (биссектрисы) совпадают. Следовательно М1 наложится на М2. Или М1М2=0
Вариант2:
если К лежит на продолжении отрезка АВ, а точка Р лежит на продолжении отрезка ДС.
угол АВС+угол ВСД=180 градусов
угол М1ВС+угол ВСМ1=180-90=90 градусв. Треугольник ВСМ1 прямоугольный! (угол ВМ1С прямой)Так же докажем, что угол ВМ2С прямой.
Следовательно угол М2ВМ1 и угол М2СМ1 тоже прямые. У прямоугольника диагонали равны, значит М1М2=ВС. т.к. это диагональ прямоугольника ВМ2СМ1. ответ: М1М2=ВС=6см (по условию задачи, которое тут не дописанно).