Діагоналі паралелограма дорівнюють 8 і 10 см, а кут між ними - 30 градусов. Знайти сторони паралелограма

Для начало нам нужно посчитать периметр известного нам многоугольника, это 4+5+7+8+9=33 см.
Два многоугольника подобны, если их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны.
Чтобы узнать стороны подобного многоугольника нужно:
1)Периметр подобного многоугольника(99 см) разделить на периметр известного многоугольника(мы посчитали, что это 33 см), то есть 99/33=3, а это означает, что периметр подобного многоугольника в три раза больше, чем периметр первоначального.
2)Поскольку периметр подобного многоугольника в три раза больше, чем периметр первоначального, значит, стороны подобного тоже в три раза больше:
4:5:7:8:9(нужно всё умножить на три)=12:15:21:24:27
ответ: стороны подобного многоугольника
относятся как 12:15:21:24:27

В задаче надо найти скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

↑a · ↑b = |↑a| · |↑b| · cosα

Сначала найдем длины всех векторов.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

AO = OC = 3

AO = OB = AB = 3, значит треугольник АОВ равносторонний и  

∠BAO = 60°.

Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:

ВС = √(АС² - АВ²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3

Противоположные стороны прямоугольника равны.

а) ↑АВ · ↑АС = |↑AB| · |↑AC| · cos∠BAC =

                      = 3 · 6 · cos60° = 18 · 1/2 = 9

б) ↑AO · ↑AD = |↑AO| · |↑AD| · cos∠OAD

∠OAD = 90° - ∠OAB = 90° - 60° = 30°

↑AO · ↑ AD = 3 · 3√3 · √3/2 = 27/2 = 13,5

в) ↑AD · ↑DC = |↑AD| · |↑DC| · cos∠ADC = 3√3 · 3 · cos90° =

                       = 3√3 · 3 · 0 = 0