Даны вершины треугольника A(−2,1), B(3,3), С(1,0). Найти:
а) длина стороны AB = √((3-(-2))² + (3-1)² = √(25 + 4) = √29.
б) уравнение медианы BM.
Находим координаты точки М как середины стороны АС.
М(((-2+1)/2; (1+3)/2) = (-0,5; 2).
Вектор ВМ = ((-0,5-3); (2-3)) = (-3,5; -1).
Уравнение ВМ: (х – 3)/(-3,5) = (у – 3)/(-1). Это в каноническом виде.
Оно же в общем виде 7у – 2х – 15 = 0.
И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (2/7)х + (15/7).
в) cos угла BCA.
Вектор СВ = ((1-3); (0-3)) = (-2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.
Вектор СА = ((1-(-2)); (0-1)) = (3; -1). Модуль равен √(9 + 1) = √10.
cos(BCA) = (-2*3 + (-3)*(-1))/( √13*√10) = -3/√130 ≈ -0,26312.
г) уравнение высоты CD.
Находим уравнение стороны АВ.
Вектор AB = ((3-(-2)); (3-1)) = (5; 2).
Уравнение АВ: (х + 2)/5 = (у -1)/2 или у = (2/5)х + (9/5).
Угловой коэффициент перпендикуляра к АВ (это высота СD) равен -1/(2/5) = -5/2. Подставим координаты точки С.
0 = (-5/2)*1 + b. Отсюда b = 5/2.
Уравнение CD: y = (-5/2)x + (5/2).
д) длина высоты СD.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = (A·Mx + B·My + C)/√A2 + B2
Подставим в формулу данные: координаты точки С(1; 0) и уравнение прямой АВ:
2х – 5у + 9 = 0.
d = (2·1 + (-5)·0 + 9)/√22 + (-5)2 = (2 + 0 + 9)/√4 + 25 =
= 11/√29 = 11√29/29 ≈ 2.0426487.
е) площадь треугольника АВС по векторам.
Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:
S= ± (1 /2) *(x1−x3 y1−y3 )
(x2−x3 y2−y3 )
x1−x3 y1−y3
x2−x3 y2−y3
A(−2,1), B(3,3), С(1,0).
S = (1/2)}|((-2-1)*(3-0) – (1-0)*3-1))| = (1/2)*|(-9-2)| = 11/2 = 5,5 кв.ед.
Объяснение:
1) Дано:
АВC - прямоугольник
AB = 13; DB = 3; DC - высота = 4
Найти : АС - х
АВ - 13 (по усл); DB - 3(по усл) => АD = 10
Рассмотрим прямоугольник СВD, в нем:
ВD = 3 (по усл); DC = 4 (по усл);
Найдем гипотенузу ВС, по теореме Пифагора:
ВС^2 = ВD^2+DC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = корень из 25 = 5
Рассмотрим прямоугольник АВС, в нем:
АВ = 13 ( по усл); ВС = 5(см.пункт выше);
Найдем АС через теорему Пифагора:
АС^2 = АВ^2 - ВС^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = корень из 144 = 12
ответ: х = 12
2) Дано:
АВС - прямоугольник; DC - высота
угол DCB = 30°; DB = 4
Найти : DC - x; AC - y
Рассмотрим прямоугольник DCB, в нем
угол DCB - 30°; DB = 4 => BC = 2 × 4 = 8 ( так как катет лежащий на против угла в 30° равен половине гипотенузы)
Найдем DC через теорему Пифагора:
DC^2 = BC^2 - DB^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = корень из 49 = 7
Рассмотрим прямоугольник ADC, в нем:
Угол DCA = 90° - 30° = 60°
Угол АDC = 90° (по усл.)
Угол DAC = 180° - (90° + 60°) = 30°
DC = 7 (см.пункт.выше) =>
=> АС = 7 × 2 = 14 (так как катет лежащий на против угла в 30° равен половине гипотенузы)
ответ: х = 7; у = 14
4) Дано:
ABCD - паралелаграмм; BE - высота
угол ABE = 45°; AE = 5
Найти: DC - х
Рассмотрим прямоугольник АBE, в нем:
угол ABE = 45°
угол ВАЕ = 45° (как дополнение углов треугольника до 180°)
АЕ = 5 =>
=> прямоугольник АBE - равнобедренный, где ВЕ = АЕ = 5
Найдем по теореме Пифагора АВ:
АВ^2 = АЕ^2 + ВЕ^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = корень из 50 = 5 корней из 2
АВ = СD = 5 корней из 2 ( противоположные стороны паралелаграмма равны)
ответ: х = 5 корней из 2
6) Дано:
АСВ - прямоугольник; CD - высота
AC = 15; CB = 20
Найти : СD - x; DB - y
Найдем DB(у) через теорему Пифагора
DB^2 = СВ^2 - СD^2 = 20^2 - x^2 = корень из 400 - x^2
Найдем СD(x) через теорему Пифагора
СD^2 = CB^2 - DB^2 = 20^2 - y^2 = корень из 400 - y^2
ответ: у = корень из 400 - x^2; х = корень из 400 - y^2
Даны вершины треугольника A(−2,1), B(3,3), С(1,0). Найти:
а) длина стороны AB = √((3-(-2))² + (3-1)² = √(25 + 4) = √29.
б) уравнение медианы BM.
Находим координаты точки М как середины стороны АС.
М(((-2+1)/2; (1+3)/2) = (-0,5; 2).
Вектор ВМ = ((-0,5-3); (2-3)) = (-3,5; -1).
Уравнение ВМ: (х – 3)/(-3,5) = (у – 3)/(-1). Это в каноническом виде.
Оно же в общем виде 7у – 2х – 15 = 0.
И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (2/7)х + (15/7).
в) cos угла BCA.
Вектор СВ = ((1-3); (0-3)) = (-2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.
Вектор СА = ((1-(-2)); (0-1)) = (3; -1). Модуль равен √(9 + 1) = √10.
cos(BCA) = (-2*3 + (-3)*(-1))/( √13*√10) = -3/√130 ≈ -0,26312.
г) уравнение высоты CD.
Находим уравнение стороны АВ.
Вектор AB = ((3-(-2)); (3-1)) = (5; 2).
Уравнение АВ: (х + 2)/5 = (у -1)/2 или у = (2/5)х + (9/5).
Угловой коэффициент перпендикуляра к АВ (это высота СD) равен -1/(2/5) = -5/2. Подставим координаты точки С.
0 = (-5/2)*1 + b. Отсюда b = 5/2.
Уравнение CD: y = (-5/2)x + (5/2).
д) длина высоты СD.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = (A·Mx + B·My + C)/√A2 + B2
Подставим в формулу данные: координаты точки С(1; 0) и уравнение прямой АВ:
2х – 5у + 9 = 0.
d = (2·1 + (-5)·0 + 9)/√22 + (-5)2 = (2 + 0 + 9)/√4 + 25 =
= 11/√29 = 11√29/29 ≈ 2.0426487.
е) площадь треугольника АВС по векторам.
Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:
S= ± (1 /2) *(x1−x3 y1−y3 )
(x2−x3 y2−y3 )
x1−x3 y1−y3
x2−x3 y2−y3
A(−2,1), B(3,3), С(1,0).
S = (1/2)}|((-2-1)*(3-0) – (1-0)*3-1))| = (1/2)*|(-9-2)| = 11/2 = 5,5 кв.ед.
Объяснение:
1) Дано:
АВC - прямоугольник
AB = 13; DB = 3; DC - высота = 4
Найти : АС - х
АВ - 13 (по усл); DB - 3(по усл) => АD = 10
Рассмотрим прямоугольник СВD, в нем:
ВD = 3 (по усл); DC = 4 (по усл);
Найдем гипотенузу ВС, по теореме Пифагора:
ВС^2 = ВD^2+DC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = корень из 25 = 5
Рассмотрим прямоугольник АВС, в нем:
АВ = 13 ( по усл); ВС = 5(см.пункт выше);
Найдем АС через теорему Пифагора:
АС^2 = АВ^2 - ВС^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = корень из 144 = 12
ответ: х = 12
2) Дано:
АВС - прямоугольник; DC - высота
угол DCB = 30°; DB = 4
Найти : DC - x; AC - y
Рассмотрим прямоугольник DCB, в нем
угол DCB - 30°; DB = 4 => BC = 2 × 4 = 8 ( так как катет лежащий на против угла в 30° равен половине гипотенузы)
Найдем DC через теорему Пифагора:
DC^2 = BC^2 - DB^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = корень из 49 = 7
Рассмотрим прямоугольник ADC, в нем:
Угол DCA = 90° - 30° = 60°
Угол АDC = 90° (по усл.)
Угол DAC = 180° - (90° + 60°) = 30°
DC = 7 (см.пункт.выше) =>
=> АС = 7 × 2 = 14 (так как катет лежащий на против угла в 30° равен половине гипотенузы)
ответ: х = 7; у = 14
4) Дано:
ABCD - паралелаграмм; BE - высота
угол ABE = 45°; AE = 5
Найти: DC - х
Рассмотрим прямоугольник АBE, в нем:
угол ABE = 45°
угол ВАЕ = 45° (как дополнение углов треугольника до 180°)
АЕ = 5 =>
=> прямоугольник АBE - равнобедренный, где ВЕ = АЕ = 5
Найдем по теореме Пифагора АВ:
АВ^2 = АЕ^2 + ВЕ^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = корень из 50 = 5 корней из 2
АВ = СD = 5 корней из 2 ( противоположные стороны паралелаграмма равны)
ответ: х = 5 корней из 2
6) Дано:
АСВ - прямоугольник; CD - высота
AC = 15; CB = 20
Найти : СD - x; DB - y
Найдем DB(у) через теорему Пифагора
DB^2 = СВ^2 - СD^2 = 20^2 - x^2 = корень из 400 - x^2
Найдем СD(x) через теорему Пифагора
СD^2 = CB^2 - DB^2 = 20^2 - y^2 = корень из 400 - y^2
ответ: у = корень из 400 - x^2; х = корень из 400 - y^2