Дан куб ABCDA1B1C1D1 1) Покажите все прямые, явля- ющиеся ребрами куба, перпендикулярными прямой AA1; 2) Пока-
жите все плоскости, являющиеся гранями куба, перпендику-
лярными прямой AB; 3) Какие прямые, проходящие через верши-
ны куба, перпендикулярны плоскости АА1С1С?
Докажем второй пункт. Как известно, высота равнобедренного треугольника совпадает с его медианой и биссектрисой и является его осью симметрии. Также, любые два равнобедренных треугольника, построенные на одном основании, обладают общей осью симметрии и, как следствие, общей высотой/медианой/биссектрисой. Тогда получаем, что KA⊂KC и все три точки лежат на KC.
Это автоматически доказывает первый пункт, т.к. непонятные ∠ACB и ∠ACD превращаются в углы при биссектрисе ∠KCB=∠KCD, которые равны между собой.