Правильная четырехугольная пирамида - в основании квадрат со стороной а = 32 дм. Высота пирамиды h = 30 дм опущена в точку пересечения диагоналей квадрата. Построить прямоугольный треугольник: вертикальный катет - высота пирамиды h = 30 дм; горизонтальный катет - отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды и середину стороны квадрата c = а/2 = 16 дм; гипотенуза - апофема боковой грани l. Теорема Пифагора: l² = h² + c² = 30² + 16² = 900 + 256 = 1156 = 34² l = 34
Необходимое количество ткани - это площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды. Площадь основания-квадрата S₀ = a² = 32² = 1024 дм². Площадь боковой поверхности состоит из четырех равных треугольников S₄ = 4*(1/2)al = 2 * 32 * 34 = 2176 дм²
1) Необходимое количество ткани 1024 + 2176 = 3200 дм² 2) На швы и обрезки дополнительно 25% = 0,25 3200 + 0,25*3200 = 3200 +800 = 4000 дм²
1) Найти объем правильной четырёхугольной пирамиды SАВСД, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°.
Проекция AO бокового ребра AS на основание - это половина диагонали квадрата в основании. Отсюда находим сторону а основания и его площадь S. a = √2*AS*cos 60° = √2*12*0,5 = 6√2. So = a² = 72. Высота Н пирамиды равна: Н = AS*sin 60° = 12*(√3/2) = 6√3. ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*72*6√3 = 144√3 куб.ед.
2) Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды - 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30°. Найти объем пирамиды.
Проведём осевое сечение через 2 боковых ребра. В сечении имеем равнобедренный треугольник с углами при основании в 30°. Пусть боковое ребро равно х. Тогда высота пирамиды как катет против угла в 30° равна (1/2)х. Проекция АО бокового ребра AS на основание как половина диагонали основания равна (1/2)*6*√2 = 3√2. По Пифагору х² = (3√2)² + ((1/2)х)². х² - (1/4)х² = 18. (3/4)х² = 18. х² = 18*(4/3) = 24. х = √24 = 2√6. Тогда высота пирамиды Н = 0,5х = √6. ответ: V = (1/3)*6²*√6 = 12√6 куб.ед.
Высота пирамиды h = 30 дм опущена в точку пересечения диагоналей квадрата. Построить прямоугольный треугольник:
вертикальный катет - высота пирамиды h = 30 дм;
горизонтальный катет - отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды и середину стороны квадрата c = а/2 = 16 дм;
гипотенуза - апофема боковой грани l.
Теорема Пифагора:
l² = h² + c² = 30² + 16² = 900 + 256 = 1156 = 34²
l = 34
Необходимое количество ткани - это площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды.
Площадь основания-квадрата S₀ = a² = 32² = 1024 дм².
Площадь боковой поверхности состоит из четырех равных треугольников S₄ = 4*(1/2)al = 2 * 32 * 34 = 2176 дм²
1) Необходимое количество ткани
1024 + 2176 = 3200 дм²
2) На швы и обрезки дополнительно 25% = 0,25
3200 + 0,25*3200 = 3200 +800 = 4000 дм²
Проекция AO бокового ребра AS на основание - это половина диагонали квадрата в основании.
Отсюда находим сторону а основания и его площадь S.
a = √2*AS*cos 60° = √2*12*0,5 = 6√2.
So = a² = 72.
Высота Н пирамиды равна:
Н = AS*sin 60° = 12*(√3/2) = 6√3.
ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*72*6√3 = 144√3 куб.ед.
2) Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды - 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30°. Найти объем пирамиды.
Проведём осевое сечение через 2 боковых ребра.
В сечении имеем равнобедренный треугольник с углами при основании в 30°.
Пусть боковое ребро равно х.
Тогда высота пирамиды как катет против угла в 30° равна (1/2)х.
Проекция АО бокового ребра AS на основание как половина диагонали основания равна (1/2)*6*√2 = 3√2.
По Пифагору х² = (3√2)² + ((1/2)х)².
х² - (1/4)х² = 18.
(3/4)х² = 18.
х² = 18*(4/3) = 24.
х = √24 = 2√6.
Тогда высота пирамиды Н = 0,5х = √6.
ответ: V = (1/3)*6²*√6 = 12√6 куб.ед.