Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 1 ед. изм.
На ребре A1D1 отмечена точка M так, что A1M:MD1=1:4.
Определи синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью(BB1D1D).​

 Прямые АА1 и ВВ1 лежат в разных плоскостях и не пересекаются. Эти прямые - скрещивающиеся. 

Проведем АА2 параллельно ВВ1.   Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. ⇒ 

ВВ1 перпендикулярна АВ, следовательно, АА2 перпендикулярна  АВ .   Угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, проведенные в его гранях перпендикулярно ребру,  является линейным углом двугранного угла.  Отсюда следует, что, если  АА1 перпендикулярна ВВ1, она перпендикулярна АА2, и тогда 

искомый двугранный угол - угол  А1АА2, и  он равен 90°. 

Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника. Значит, четырехугольник, который она отсекает, является трапецией, ведь трапеция - четырехугольник, пара противоположных сторон которого параллельна (а другая пара, очевидно, не параллельна).

Осталось доказать, что площадь маленького треугольника равна 1/4 площади большого. Тогда площадь трапеции равна 3/4 площади большого треугольника. Эти треугольники подобны по отношению двух сторон и углу между ними, так как коэффициент подобия равен 1/2, площади треугольников относятся как 1:4, что и требовалось.